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Popular Trigonometría >

2cos^2(x)-sqrt(3cos(x))=0

Solución

2 cos^{2} (x) - 3 cos (x) = 0

Solución

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 0.43097 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.43097 \dots + 2 πn

Grados

x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 24.69285 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 335.30714 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

2 cos^{2} (x) - 3 cos (x) = 0

Usando el método de sustitución

2 cos^{2} (x) - 3 cos (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

2 u^{2} - 3 u = 0

2 u^{2} - 3 u = 0

Eliminar raíces cuadradas

2 u^{2} - 3 u = 0

Restar

2 u^{2}

de ambos lados

2 u^{2} - 3 u - 2 u^{2} = 0 - 2 u^{2}

Simplificar

- 3 u = - 2 u^{2}

Elevar al cuadrado ambos lados:

3 u = 4 u^{4}

2 u^{2} - 3 u = 0

(- 3 u)^{2} = (- 2 u^{2})^{2}

Desarrollar

(- 3 u)^{2} : 3 u

(- 3 u)^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 3 u)^{2} = (3 u)^{2}

= (3 u)^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a = a^{\frac{1}{2}}

= ((3 u)^{\frac{1}{2}})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (3 u)^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= 1

= 3 u

Desarrollar

(- 2 u^{2})^{2} : 4 u^{4}

(- 2 u^{2})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 2 u^{2})^{2} = (2 u^{2})^{2}

= (2 u^{2})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 2^{2} (u^{2})^{2}

(u^{2})^{2} : u^{4}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= u^{2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= u^{4}

= 2^{2} u^{4}

2^{2} = 4

= 4 u^{4}

3 u = 4 u^{4}

3 u = 4 u^{4}

3 u = 4 u^{4}

Resolver

3 u = 4 u^{4}

Desplace

4 u^{4}

a la izquierda

3 u = 4 u^{4}

Restar

4 u^{4}

de ambos lados

3 u - 4 u^{4} = 4 u^{4} - 4 u^{4}

Simplificar

3 u - 4 u^{4} = 0

3 u - 4 u^{4} = 0

Factorizar

3 u - 4 u^{4}

Factorizar el termino común

- u : - u (4 u^{3} - 3)

- 4 u^{4} + 3 u

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{4} = u^{3} u

= - 4 u^{3} u + 3 u

Factorizar el termino común

- u

= - u (4 u^{3} - 3)

= - u (4 u^{3} - 3)

Factorizar

4 u^{3} - 3

Reescribir

4 u^{3} - 3

como

4 u^{3} - 3

Aplicar las leyes de los exponentes:

a = (a)^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a = (a)^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

Aplicar la siguiente regla de productos notables (Diferencia de cubos):

x^{3} - y^{3} = (x - y) (x^{2} + x y + y^{2})

Simplificar

Usando la propiedad del factor cero:

ab = 0

entonces

a = 0

b = 0

Resolver

Desplace

a la derecha

Sumar

a ambos lados

Simplificar

Dividir ambos lados entre

Simplificar

Eliminar los terminos comunes:

= u

Simplificar

Combinar los exponentes similares:

Resolver

Sin solución para

u \in R

Discriminante

Para una ecuación cuadrática de la forma

a x^{2} + b x + c = 0

el discriminante es

b^{2} - 4 a c

Para

Desarrollar

Aplicar las leyes de los exponentes:

= (1 2^{\frac{1}{3}})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 1 2^{\frac{1}{3} \cdot 2}

\frac{1}{3} \cdot 2 = \frac{2}{3}

\frac{1}{3} \cdot 2

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{3}

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{3}

= 1 2^{\frac{2}{3}}

4 \cdot 4^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{3}} = 4 \cdot 1 2^{\frac{2}{3}}

4 \cdot 4^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{3}}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

4^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{3}} = (4 \cdot 3)^{\frac{2}{3}}

= 4 (4 \cdot 3)^{\frac{2}{3}}

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 3 = 12

= 4 \cdot 1 2^{\frac{2}{3}}

= 1 2^{\frac{2}{3}} - 4 \cdot 1 2^{\frac{2}{3}}

Sumar elementos similares:

1 2^{\frac{2}{3}} - 4 \cdot 1 2^{\frac{2}{3}} = - 3 \cdot 1 2^{\frac{2}{3}}

= - 3 \cdot 1 2^{\frac{2}{3}}

- 3 \cdot 1 2^{\frac{2}{3}}

El discriminante no puede ser negativo para

u \in R

La solución es

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n para u \in R

Las soluciones son

Verificar las soluciones:

u = 0

Verdadero

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

2 u^{2} - 3 u = 0

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Sustituir

u = 0 :

Verdadero

2 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0 = 0

2 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0 = 0

2 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0

Aplicar la regla

0^{a} = 0

0^{2} = 0

= 2 \cdot 0 - 3 \cdot 0

2 \cdot 0 = 0

2 \cdot 0

Aplicar la regla

0 \cdot a = 0

= 0

3 \cdot 0 = 0

3 \cdot 0

Aplicar la regla

0 \cdot a = 0

= 0

Aplicar la regla

0 = 0

= 0

= 0 - 0

Restar:

0 - 0 = 0

= 0

0 = 0

Verdadero

Sustituir

Verdadero

Aplicar las leyes de los exponentes:

= ((\frac{3}{4})^{\frac{1}{3}})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (\frac{3}{4})^{\frac{1}{3} \cdot 2}

\frac{1}{3} \cdot 2 = \frac{2}{3}

\frac{1}{3} \cdot 2

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{3}

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{3}

= (\frac{3}{4})^{\frac{2}{3}}

= 2 (\frac{3}{4})^{\frac{2}{3}}

Aplicar la siguiente propiedad de los radicales:

asumiendo que

a \geq 0, b \geq 0

Aplicar las leyes de los exponentes:

= ((\frac{3}{4})^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{2}}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (\frac{3}{4})^{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}}

\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}

\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}

Multiplicar fracciones:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 1 = 1

= \frac{1}{3 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 2 = 6

= \frac{1}{6}

= (\frac{3}{4})^{\frac{1}{6}}

Verdadero

Las soluciones son

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) = 0 : x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) = 0

Soluciones generales para

cos (x) = 0

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

Soluciones generales para

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

Mostrar soluciones en forma decimal

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 0.43097 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.43097 \dots + 2 πn

Gráfica

Ejemplos populares

sin(3x)=sin(5x)

2sin^2(3θ)+sin(3θ)-1=0

4cos(θ)+sqrt(3)=2cos(θ)

6cos^2(θ)-cos(θ)-1=0

|cos(3x)|= 1/2