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Popular Trigonometría >

sec^5(x)=4sec(x)

Solución

sec^{5} (x) = 4 sec (x)

Solución

x = \frac{3 π}{4} + 2 πn, x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Grados

x = 13 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 22 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 4 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 31 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

sec^{5} (x) = 4 sec (x)

Usando el método de sustitución

sec^{5} (x) = 4 sec (x)

Sea:

sec (x) = u

u^{5} = 4 u

u^{5} = 4 u : u = 0, u = 2 i, u = - 2 i, u = - 2, u = 2

u^{5} = 4 u

Desplace

4 u

a la izquierda

u^{5} = 4 u

Restar

4 u

de ambos lados

u^{5} - 4 u = 4 u - 4 u

Simplificar

u^{5} - 4 u = 0

u^{5} - 4 u = 0

Factorizar

u^{5} - 4 u : u (u^{2} + 2) (u + 2) (u - 2)

u^{5} - 4 u

Factorizar el termino común

u : u (u^{4} - 4)

u^{5} - 4 u

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{5} = u^{4} u

= u^{4} u - 4 u

Factorizar el termino común

u

= u (u^{4} - 4)

= u (u^{4} - 4)

Factorizar

u^{4} - 4 : (u^{2} + 2) (u + 2) (u - 2)

u^{4} - 4

Reescribir

u^{4} - 4

como

(u^{2})^{2} - 2^{2}

u^{4} - 4

Reescribir

4

como

2^{2}

= u^{4} - 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

u^{4} = (u^{2})^{2}

= (u^{2})^{2} - 2^{2}

= (u^{2})^{2} - 2^{2}

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(u^{2})^{2} - 2^{2} = (u^{2} + 2) (u^{2} - 2)

= (u^{2} + 2) (u^{2} - 2)

Factorizar

u^{2} - 2 : (u + 2) (u - 2)

u^{2} - 2

Aplicar las leyes de los exponentes:

a = (a)^{2}

2 = (2)^{2}

= u^{2} - (2)^{2}

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

u^{2} - (2)^{2} = (u + 2) (u - 2)

= (u + 2) (u - 2)

= (u^{2} + 2) (u + 2) (u - 2)

= u (u^{2} + 2) (u + 2) (u - 2)

u (u^{2} + 2) (u + 2) (u - 2) = 0

Usando la propiedad del factor cero:

ab = 0

entonces

a = 0

b = 0

u = 0 or u^{2} + 2 = 0 or u + 2 = 0 or u - 2 = 0

Resolver

u^{2} + 2 = 0 : u = 2 i, u = - 2 i

u^{2} + 2 = 0

Desplace

2

a la derecha

u^{2} + 2 = 0

Restar

2

de ambos lados

u^{2} + 2 - 2 = 0 - 2

Simplificar

u^{2} = - 2

u^{2} = - 2

Para

x^{2} = f (a)

las soluciones son

x = f (a), - f (a)

u = - 2, u = - - 2

Simplificar

- 2 : 2 i

- 2

Aplicar las leyes de los exponentes:

- a = - 1 a

- 2 = - 1 2

= - 1 2

Aplicar las propiedades de los numeros imaginarios:

- 1 = i

= 2 i

Simplificar

- - 2 : - 2 i

- - 2

Simplificar

- 2 : 2 i

- 2

Aplicar las leyes de los exponentes:

- a = - 1 a

- 2 = - 1 2

= - 1 2

Aplicar las propiedades de los numeros imaginarios:

- 1 = i

= 2 i

= - 2 i

u = 2 i, u = - 2 i

Resolver

u + 2 = 0 : u = - 2

u + 2 = 0

Desplace

2

a la derecha

u + 2 = 0

Restar

2

de ambos lados

u + 2 - 2 = 0 - 2

Simplificar

u = - 2

u = - 2

Resolver

u - 2 = 0 : u = 2

u - 2 = 0

Desplace

2

a la derecha

u - 2 = 0

Sumar

2

a ambos lados

u - 2 + 2 = 0 + 2

Simplificar

u = 2

u = 2

Las soluciones son

u = 0, u = 2 i, u = - 2 i, u = - 2, u = 2

Sustituir en la ecuación

u = sec (x)

sec (x) = 0, sec (x) = 2 i, sec (x) = - 2 i, sec (x) = - 2, sec (x) = 2

sec (x) = 0, sec (x) = 2 i, sec (x) = - 2 i, sec (x) = - 2, sec (x) = 2

sec (x) = 0 :

Sin solución

sec (x) = 0

sec (x) \leq - 1 or sec (x) \geq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

sec (x) = 2 i :

Sin solución

sec (x) = 2 i

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

sec (x) = - 2 i :

Sin solución

sec (x) = - 2 i

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

sec (x) = - 2 : x = \frac{3 π}{4} + 2 πn, x = \frac{5 π}{4} + 2 πn

sec (x) = - 2

Soluciones generales para

sec (x) = - 2

sec (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

x = \frac{3 π}{4} + 2 πn, x = \frac{5 π}{4} + 2 πn

x = \frac{3 π}{4} + 2 πn, x = \frac{5 π}{4} + 2 πn

sec (x) = 2 : x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

sec (x) = 2

Soluciones generales para

sec (x) = 2

sec (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = \frac{3 π}{4} + 2 πn, x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Gráfica

Ejemplos populares