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Beliebt Trigonometrie >

8sin(x/2)+8cos(x)=0

Lösung

8 sin (\frac{x}{2}) + 8 cos (x) = 0

Lösung

x = \frac{7 π}{3} + 4 πn, x = \frac{11 π}{3} + 4 πn, x = π + 4 πn

Grad

x = 42 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n, x = 66 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

8 sin (\frac{x}{2}) + 8 cos (x) = 0

Angenommen:

u = \frac{x}{2}

8 sin (u) + 8 cos (2 u) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

8 cos (2 u) + 8 sin (u)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= 8 (1 - 2 sin^{2} (u)) + 8 sin (u)

(1 - 2 sin^{2} (u)) \cdot 8 + 8 sin (u) = 0

Löse mit Substitution

(1 - 2 sin^{2} (u)) \cdot 8 + 8 sin (u) = 0

Angenommen:

sin (u) = u

(1 - 2 u^{2}) \cdot 8 + 8 u = 0

(1 - 2 u^{2}) \cdot 8 + 8 u = 0 : u = - \frac{1}{2}, u = 1

(1 - 2 u^{2}) \cdot 8 + 8 u = 0

Schreibe

(1 - 2 u^{2}) \cdot 8 + 8 u

um:

8 - 16 u^{2} + 8 u

(1 - 2 u^{2}) \cdot 8 + 8 u

= 8 (1 - 2 u^{2}) + 8 u

Multipliziere aus

8 (1 - 2 u^{2}) : 8 - 16 u^{2}

8 (1 - 2 u^{2})

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 8, b = 1, c = 2 u^{2}

= 8 \cdot 1 - 8 \cdot 2 u^{2}

Vereinfache

8 \cdot 1 - 8 \cdot 2 u^{2} : 8 - 16 u^{2}

8 \cdot 1 - 8 \cdot 2 u^{2}

Multipliziere die Zahlen:

8 \cdot 1 = 8

= 8 - 8 \cdot 2 u^{2}

Multipliziere die Zahlen:

8 \cdot 2 = 16

= 8 - 16 u^{2}

= 8 - 16 u^{2}

= 8 - 16 u^{2} + 8 u

8 - 16 u^{2} + 8 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 16 u^{2} + 8 u + 8 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 16 u^{2} + 8 u + 8 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 16, b = 8, c = 8

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 ^{2} - 4 ( - 16 ) \cdot 8}{2 ( - 16 )}

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 ^{2} - 4 ( - 16 ) \cdot 8}{2 ( - 16 )}

8^{2} - 4 (- 16) \cdot 8 = 24

8^{2} - 4 (- 16) \cdot 8

Wende Regel an

- (- a) = a

= 8^{2} + 4 \cdot 16 \cdot 8

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 16 \cdot 8 = 512

= 8^{2} + 512

8^{2} = 64

= 64 + 512

Addiere die Zahlen:

64 + 512 = 576

= 576

Faktorisiere die Zahl:

576 = 2 4^{2}

= 2 4^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2 4^{2} = 24

= 24

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 24}{2 ( - 16 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 8 + 24}{2 ( - 16 )}, u_{2} = \frac{- 8 - 24}{2 ( - 16 )}

u = \frac{- 8 + 24}{2 ( - 16 )} : - \frac{1}{2}

\frac{- 8 + 24}{2 ( - 16 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 8 + 24}{- 2 \cdot 16}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 8 + 24 = 16

= \frac{16}{- 2 \cdot 16}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 16 = 32

= \frac{16}{- 32}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{16}{32}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

16

= - \frac{1}{2}

u = \frac{- 8 - 24}{2 ( - 16 )} : 1

\frac{- 8 - 24}{2 ( - 16 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 8 - 24}{- 2 \cdot 16}

Subtrahiere die Zahlen:

- 8 - 24 = - 32

= \frac{- 32}{- 2 \cdot 16}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 16 = 32

= \frac{- 32}{- 32}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{32}{32}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{1}{2}, u = 1

Setze in

u = sin (u)

ein

sin (u) = - \frac{1}{2}, sin (u) = 1

sin (u) = - \frac{1}{2}, sin (u) = 1

sin (u) = - \frac{1}{2} : u = \frac{7 π}{6} + 2 πn, u = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (u) = - \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (u) = - \frac{1}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

u = \frac{7 π}{6} + 2 πn, u = \frac{11 π}{6} + 2 πn

u = \frac{7 π}{6} + 2 πn, u = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (u) = 1 : u = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (u) = 1

Allgemeine Lösung für

sin (u) = 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

u = \frac{π}{2} + 2 πn

u = \frac{π}{2} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

u = \frac{7 π}{6} + 2 πn, u = \frac{11 π}{6} + 2 πn, u = \frac{π}{2} + 2 πn

Setze in

u = \frac{x}{2}

ein

\frac{x}{2} = \frac{7 π}{6} + 2 πn : x = \frac{7 π}{3} + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{7 π}{6} + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{x}{2} = \frac{7 π}{6} + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{7 π}{6} + 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{7 π}{6} + 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= x

Vereinfache

2 \cdot \frac{7 π}{6} + 2 \cdot 2 πn : \frac{7 π}{3} + 4 πn

2 \cdot \frac{7 π}{6} + 2 \cdot 2 πn

2 \cdot \frac{7 π}{6} = \frac{7 π}{3}

2 \cdot \frac{7 π}{6}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{7 π 2}{6}

Multipliziere die Zahlen:

7 \cdot 2 = 14

= \frac{14 π}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{7 π}{3}

2 \cdot 2 πn = 4 πn

2 \cdot 2 πn

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 4 πn

= \frac{7 π}{3} + 4 πn

x = \frac{7 π}{3} + 4 πn

x = \frac{7 π}{3} + 4 πn

x = \frac{7 π}{3} + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{11 π}{6} + 2 πn : x = \frac{11 π}{3} + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{x}{2} = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{11 π}{6} + 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{11 π}{6} + 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= x

Vereinfache

2 \cdot \frac{11 π}{6} + 2 \cdot 2 πn : \frac{11 π}{3} + 4 πn

2 \cdot \frac{11 π}{6} + 2 \cdot 2 πn

2 \cdot \frac{11 π}{6} = \frac{11 π}{3}

2 \cdot \frac{11 π}{6}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{11 π 2}{6}

Multipliziere die Zahlen:

11 \cdot 2 = 22

= \frac{22 π}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{11 π}{3}

2 \cdot 2 πn = 4 πn

2 \cdot 2 πn

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 4 πn

= \frac{11 π}{3} + 4 πn

x = \frac{11 π}{3} + 4 πn

x = \frac{11 π}{3} + 4 πn

x = \frac{11 π}{3} + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{π}{2} + 2 πn : x = π + 4 πn

\frac{x}{2} = \frac{π}{2} + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{x}{2} = \frac{π}{2} + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{π}{2} + 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot \frac{π}{2} + 2 \cdot 2 πn

Vereinfache

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= x

Vereinfache

2 \cdot \frac{π}{2} + 2 \cdot 2 πn : π + 4 πn

2 \cdot \frac{π}{2} + 2 \cdot 2 πn

2 \cdot \frac{π}{2} = π

2 \cdot \frac{π}{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{π 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= π

2 \cdot 2 πn = 4 πn

2 \cdot 2 πn

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 4 πn

= π + 4 πn

x = π + 4 πn

x = π + 4 πn

x = π + 4 πn

x = \frac{7 π}{3} + 4 πn, x = \frac{11 π}{3} + 4 πn, x = π + 4 πn

Graph

Beliebte Beispiele

tan(θ/2+pi/6)=1

tan (\frac{θ}{2} + \frac{π}{6}) = 1

sec(x)=-sqrt(2),0<x<2pi

sec (x) = - 2, 0 < x < 2 π

cos(x)= 7/16

cos (x) = \frac{7}{16}

4sin(3x)=2

4 sin (3 x) = 2

2sin^2(x)-3sin(x)=1

2 sin^{2} (x) - 3 sin (x) = 1