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Beliebt Trigonometrie >

-5sin^2(x)-4cos(x)=-4

Lösung

- 5 sin^{2} (x) - 4 cos (x) = - 4

Lösung

x = 2 πn, x = 1.77215 \dots + 2 πn, x = - 1.77215 \dots + 2 πn

Grad

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 101.53695 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 101.53695 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

- 5 sin^{2} (x) - 4 cos (x) = - 4

Subtrahiere

- 4

von beiden Seiten

- 5 sin^{2} (x) - 4 cos (x) + 4 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

4 - 4 cos (x) - 5 sin^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= 4 - 4 cos (x) - 5 (1 - cos^{2} (x))

Vereinfache

4 - 4 cos (x) - 5 (1 - cos^{2} (x)) : 5 cos^{2} (x) - 4 cos (x) - 1

4 - 4 cos (x) - 5 (1 - cos^{2} (x))

Multipliziere aus

- 5 (1 - cos^{2} (x)) : - 5 + 5 cos^{2} (x)

- 5 (1 - cos^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 5, b = 1, c = cos^{2} (x)

= - 5 \cdot 1 - (- 5) cos^{2} (x)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 5 \cdot 1 + 5 cos^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

5 \cdot 1 = 5

= - 5 + 5 cos^{2} (x)

= 4 - 4 cos (x) - 5 + 5 cos^{2} (x)

Vereinfache

4 - 4 cos (x) - 5 + 5 cos^{2} (x) : 5 cos^{2} (x) - 4 cos (x) - 1

4 - 4 cos (x) - 5 + 5 cos^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 4 cos (x) + 5 cos^{2} (x) + 4 - 5

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

4 - 5 = - 1

= 5 cos^{2} (x) - 4 cos (x) - 1

= 5 cos^{2} (x) - 4 cos (x) - 1

= 5 cos^{2} (x) - 4 cos (x) - 1

- 1 - 4 cos (x) + 5 cos^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

- 1 - 4 cos (x) + 5 cos^{2} (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

- 1 - 4 u + 5 u^{2} = 0

- 1 - 4 u + 5 u^{2} = 0 : u = 1, u = - \frac{1}{5}

- 1 - 4 u + 5 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

5 u^{2} - 4 u - 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

5 u^{2} - 4 u - 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 5, b = - 4, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 5 ( - 1 )}{2 \cdot 5}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 5 ( - 1 )}{2 \cdot 5}

(- 4)^{2} - 4 \cdot 5 (- 1) = 6

(- 4)^{2} - 4 \cdot 5 (- 1)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 4)^{2} + 4 \cdot 5 \cdot 1

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2} + 4 \cdot 5 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 5 \cdot 1 = 20

= 4^{2} + 20

4^{2} = 16

= 16 + 20

Addiere die Zahlen:

16 + 20 = 36

= 36

Faktorisiere die Zahl:

36 = 6^{2}

= 6^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

6^{2} = 6

= 6

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm 6}{2 \cdot 5}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 4 ) + 6}{2 \cdot 5}, u_{2} = \frac{- ( - 4 ) - 6}{2 \cdot 5}

u = \frac{- ( - 4 ) + 6}{2 \cdot 5} : 1

\frac{- ( - 4 ) + 6}{2 \cdot 5}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{4 + 6}{2 \cdot 5}

Addiere die Zahlen:

4 + 6 = 10

= \frac{10}{2 \cdot 5}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{10}{10}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- ( - 4 ) - 6}{2 \cdot 5} : - \frac{1}{5}

\frac{- ( - 4 ) - 6}{2 \cdot 5}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{4 - 6}{2 \cdot 5}

Subtrahiere die Zahlen:

4 - 6 = - 2

= \frac{- 2}{2 \cdot 5}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{- 2}{10}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{10}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{1}{5}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 1, u = - \frac{1}{5}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = 1, cos (x) = - \frac{1}{5}

cos (x) = 1, cos (x) = - \frac{1}{5}

cos (x) = 1 : x = 2 πn

cos (x) = 1

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Löse

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{5} : x = arccos (- \frac{1}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1}{5}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{5}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = - \frac{1}{5}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - \frac{1}{5}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{1}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1}{5}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{1}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1}{5}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = 2 πn, x = arccos (- \frac{1}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1}{5}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 2 πn, x = 1.77215 \dots + 2 πn, x = - 1.77215 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

tan^2(θ)= 1/3 ,0<= θ<= 2pi

tan^{2} (θ) = \frac{1}{3}, 0 \leq θ \leq 2 π

4sin(2x)=2sqrt(3)

4 sin (2 x) = 23

3cos(2θ)-5cos(θ)-1=0

3 cos (2 θ) - 5 cos (θ) - 1 = 0

csc(x)= 21/5

csc (x) = \frac{21}{5}

sqrt(3)cot(2x)+3=0

3 cot (2 x) + 3 = 0