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Beliebt Trigonometrie >

3cos(2x)=3cos(x)

Lösung

3 cos (2 x) = 3 cos (x)

Lösung

x = 2 πn, x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Grad

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 12 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 24 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

3 cos (2 x) = 3 cos (x)

Subtrahiere

3 cos (x)

von beiden Seiten

3 cos (2 x) - 3 cos (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

3 cos (2 x) - 3 cos (x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 3 (2 cos^{2} (x) - 1) - 3 cos (x)

(- 1 + 2 cos^{2} (x)) \cdot 3 - 3 cos (x) = 0

Löse mit Substitution

(- 1 + 2 cos^{2} (x)) \cdot 3 - 3 cos (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

(- 1 + 2 u^{2}) \cdot 3 - 3 u = 0

(- 1 + 2 u^{2}) \cdot 3 - 3 u = 0 : u = 1, u = - \frac{1}{2}

(- 1 + 2 u^{2}) \cdot 3 - 3 u = 0

Schreibe

(- 1 + 2 u^{2}) \cdot 3 - 3 u

um:

- 3 + 6 u^{2} - 3 u

(- 1 + 2 u^{2}) \cdot 3 - 3 u

= 3 (- 1 + 2 u^{2}) - 3 u

Multipliziere aus

3 (- 1 + 2 u^{2}) : - 3 + 6 u^{2}

3 (- 1 + 2 u^{2})

Wende das Distributivgesetz an:

a (b + c) = ab + a c

a = 3, b = - 1, c = 2 u^{2}

= 3 (- 1) + 3 \cdot 2 u^{2}

Wende Minus-Plus Regeln an

+ (- a) = - a

= - 3 \cdot 1 + 3 \cdot 2 u^{2}

Vereinfache

- 3 \cdot 1 + 3 \cdot 2 u^{2} : - 3 + 6 u^{2}

- 3 \cdot 1 + 3 \cdot 2 u^{2}

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 1 = 3

= - 3 + 3 \cdot 2 u^{2}

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 2 = 6

= - 3 + 6 u^{2}

= - 3 + 6 u^{2}

= - 3 + 6 u^{2} - 3 u

- 3 + 6 u^{2} - 3 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

6 u^{2} - 3 u - 3 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

6 u^{2} - 3 u - 3 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 6, b = - 3, c = - 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 6 ( - 3 )}{2 \cdot 6}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 6 ( - 3 )}{2 \cdot 6}

(- 3)^{2} - 4 \cdot 6 (- 3) = 9

(- 3)^{2} - 4 \cdot 6 (- 3)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 3)^{2} + 4 \cdot 6 \cdot 3

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 3)^{2} = 3^{2}

= 3^{2} + 4 \cdot 6 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 6 \cdot 3 = 72

= 3^{2} + 72

3^{2} = 9

= 9 + 72

Addiere die Zahlen:

9 + 72 = 81

= 81

Faktorisiere die Zahl:

81 = 9^{2}

= 9^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

9^{2} = 9

= 9

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm 9}{2 \cdot 6}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 3 ) + 9}{2 \cdot 6}, u_{2} = \frac{- ( - 3 ) - 9}{2 \cdot 6}

u = \frac{- ( - 3 ) + 9}{2 \cdot 6} : 1

\frac{- ( - 3 ) + 9}{2 \cdot 6}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{3 + 9}{2 \cdot 6}

Addiere die Zahlen:

3 + 9 = 12

= \frac{12}{2 \cdot 6}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 6 = 12

= \frac{12}{12}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- ( - 3 ) - 9}{2 \cdot 6} : - \frac{1}{2}

\frac{- ( - 3 ) - 9}{2 \cdot 6}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{3 - 9}{2 \cdot 6}

Subtrahiere die Zahlen:

3 - 9 = - 6

= \frac{- 6}{2 \cdot 6}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 6 = 12

= \frac{- 6}{12}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{6}{12}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

6

= - \frac{1}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 1, u = - \frac{1}{2}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = 1, cos (x) = - \frac{1}{2}

cos (x) = 1, cos (x) = - \frac{1}{2}

cos (x) = 1 : x = 2 πn

cos (x) = 1

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Löse

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{2} : x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = 2 πn, x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

-2sin(θ)=2sin(2θ)

- 2 sin (θ) = 2 sin (2 θ)

sin(α)=0

sin (α) = 0

sin(90)=cos(x)

sin (9 0^{\circ}) = cos (x)

sqrt(3)tan^2(x)+2tan(x)-sqrt(3)=0

3 tan^{2} (x) + 2 tan (x) - 3 = 0

6cos(2x)=-6cos(x)

6 cos (2 x) = - 6 cos (x)