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Beliebt Trigonometrie >

sin^2(x)-9cos(x)+9=0

Lösung

sin^{2} (x) - 9 cos (x) + 9 = 0

Lösung

x = 2 πn

Grad

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

sin^{2} (x) - 9 cos (x) + 9 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

9 + sin^{2} (x) - 9 cos (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= 9 + 1 - cos^{2} (x) - 9 cos (x)

Vereinfache

= - cos^{2} (x) - 9 cos (x) + 10

10 - cos^{2} (x) - 9 cos (x) = 0

Löse mit Substitution

10 - cos^{2} (x) - 9 cos (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

10 - u^{2} - 9 u = 0

10 - u^{2} - 9 u = 0 : u = - 10, u = 1

10 - u^{2} - 9 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- u^{2} - 9 u + 10 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- u^{2} - 9 u + 10 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 1, b = - 9, c = 10

u_{1, 2} = \frac{- ( - 9 ) \pm ( - 9 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 10}{2 ( - 1 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 9 ) \pm ( - 9 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 10}{2 ( - 1 )}

(- 9)^{2} - 4 (- 1) \cdot 10 = 11

(- 9)^{2} - 4 (- 1) \cdot 10

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 9)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 10

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 9)^{2} = 9^{2}

= 9^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 10

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 10 = 40

= 9^{2} + 40

9^{2} = 81

= 81 + 40

Addiere die Zahlen:

81 + 40 = 121

= 121

Faktorisiere die Zahl:

121 = 1 1^{2}

= 1 1^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

1 1^{2} = 11

= 11

u_{1, 2} = \frac{- ( - 9 ) \pm 11}{2 ( - 1 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 9 ) + 11}{2 ( - 1 )}, u_{2} = \frac{- ( - 9 ) - 11}{2 ( - 1 )}

u = \frac{- ( - 9 ) + 11}{2 ( - 1 )} : - 10

\frac{- ( - 9 ) + 11}{2 ( - 1 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{9 + 11}{- 2 \cdot 1}

Addiere die Zahlen:

9 + 11 = 20

= \frac{20}{- 2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{20}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{20}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{20}{2} = 10

= - 10

u = \frac{- ( - 9 ) - 11}{2 ( - 1 )} : 1

\frac{- ( - 9 ) - 11}{2 ( - 1 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{9 - 11}{- 2 \cdot 1}

Subtrahiere die Zahlen:

9 - 11 = - 2

= \frac{- 2}{- 2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - 10, u = 1

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = - 10, cos (x) = 1

cos (x) = - 10, cos (x) = 1

cos (x) = - 10 :

Keine Lösung

cos (x) = - 10

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (x) = 1 : x = 2 πn

cos (x) = 1

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Löse

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos(x)= 13/16

cos (x) = \frac{13}{16}

tan^2(x)-4tan(x)+3=0

tan^{2} (x) - 4 tan (x) + 3 = 0

sin(x)+sin(3x)=cos(x)

sin (x) + sin (3 x) = cos (x)

2sin^2(x)=3(1-cos(x))

2 sin^{2} (x) = 3 (1 - cos (x))

cos(x)=0,72

cos (x) = 0, 72