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Popular Trigonometria >

provar tan(2pi-x)=-tan(x)

Solução

provar

tan (2 π - x) = - tan (x)

Solução

Verdadeiro

Passos da solução

tan (2 π - x) = - tan (x)

Manipular o lado direito

tan (2 π - x)

Reeecreva usando identidades trigonométricas

tan (2 π - x)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( 2 π - x )}{cos ( 2 π - x )}

Use a identidade de diferença de ângulos:

sin (s - t) = sin (s) cos (t) - cos (s) sin (t)

= \frac{sin ( 2 π ) cos ( x ) - cos ( 2 π ) sin ( x )}{cos ( 2 π - x )}

Use a identidade de diferença de ângulos:

cos (s - t) = cos (s) cos (t) + sin (s) sin (t)

= \frac{sin ( 2 π ) cos ( x ) - cos ( 2 π ) sin ( x )}{cos ( 2 π ) cos ( x ) + sin ( 2 π ) sin ( x )}

Simplificar

\frac{sin ( 2 π ) cos ( x ) - cos ( 2 π ) sin ( x )}{cos ( 2 π ) cos ( x ) + sin ( 2 π ) sin ( x )} : - \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

\frac{sin ( 2 π ) cos ( x ) - cos ( 2 π ) sin ( x )}{cos ( 2 π ) cos ( x ) + sin ( 2 π ) sin ( x )}

sin (2 π) cos (x) - cos (2 π) sin (x) = - sin (x)

sin (2 π) cos (x) - cos (2 π) sin (x)

sin (2 π) cos (x) = 0

sin (2 π) cos (x)

sin (2 π) = 0

sin (2 π)

sin (2 π) = sin (0)

sin (2 π)

Reescrever

2 π

como

2 π + 0

= sin (2 π + 0)

Utilizar a periodicidade de

sin

sin (x + 2 π) = sin (x)

sin (2 π + 0) = sin (0)

= sin (0)

= sin (0)

Utilizar a seguinte identidade trivial:

sin (0) = 0

sin (0)

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= 0

= 0

= 0 \cdot cos (x)

Aplicar a regra

0 \cdot a = 0

= 0

cos (2 π) sin (x) = sin (x)

cos (2 π) sin (x)

cos (2 π) = 1

cos (2 π)

cos (2 π) = cos (0)

cos (2 π)

Reescrever

2 π

como

2 π + 0

= cos (2 π + 0)

Utilizar a periodicidade de

cos

cos (x + 2 π) = cos (x)

cos (2 π + 0) = cos (0)

= cos (0)

= cos (0)

Utilizar a seguinte identidade trivial:

cos (0) = 1

cos (0)

cos (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= 1

= 1

= 1 \cdot sin (x)

Multiplicar:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= sin (x)

= 0 - sin (x)

0 - sin (x) = - sin (x)

= - sin (x)

= \frac{- sin ( x )}{cos ( 2 π ) cos ( x ) + sin ( 2 π ) sin ( x )}

cos (2 π) cos (x) + sin (2 π) sin (x) = cos (x)

cos (2 π) cos (x) + sin (2 π) sin (x)

cos (2 π) cos (x) = cos (x)

cos (2 π) cos (x)

cos (2 π) = 1

cos (2 π)

cos (2 π) = cos (0)

cos (2 π)

Reescrever

2 π

como

2 π + 0

= cos (2 π + 0)

Utilizar a periodicidade de

cos

cos (x + 2 π) = cos (x)

cos (2 π + 0) = cos (0)

= cos (0)

= cos (0)

Utilizar a seguinte identidade trivial:

cos (0) = 1

cos (0)

cos (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= 1

= 1

= 1 \cdot cos (x)

Multiplicar:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= cos (x)

sin (2 π) sin (x) = 0

sin (2 π) sin (x)

sin (2 π) = 0

sin (2 π)

sin (2 π) = sin (0)

sin (2 π)

Reescrever

2 π

como

2 π + 0

= sin (2 π + 0)

Utilizar a periodicidade de

sin

sin (x + 2 π) = sin (x)

sin (2 π + 0) = sin (0)

= sin (0)

= sin (0)

Utilizar a seguinte identidade trivial:

sin (0) = 0

sin (0)

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= 0

= 0

= 0 \cdot sin (x)

Aplicar a regra

0 \cdot a = 0

= 0

= cos (x) + 0

cos (x) + 0 = cos (x)

= cos (x)

= \frac{- sin ( x )}{cos ( x )}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= - \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= - \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

= - tan (x)

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

Exemplos populares

provar sec(2x)=(sec^2(x))/(2-sec^2(x))

p ro v e sec (2 x) = \frac{sec ^{2} ( x )}{2 - sec ^{2} ( x )}

provar tan(a)+cot(a)=sec(a)csc(a)

p ro v e tan (a) + cot (a) = sec (a) csc (a)

provar (1-sin(x))(1+sin(x))=cos^2(x)

p ro v e (1 - sin (x)) (1 + sin (x)) = cos^{2} (x)

provar (csc^2(x)-1)sin(x)=cos^2(x)csc(x)

p ro v e (csc^{2} (x) - 1) sin (x) = cos^{2} (x) csc (x)

provar sin(x)cot(x)=cos(x)

p ro v e sin (x) cot (x) = cos (x)