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人気のある三角関数 >

証明する cos(3x)=cos^3(x)-3sin^2(x)cos(x)

解

証明する

cos (3 x) = cos^{3} (x) - 3 sin^{2} (x) cos (x)

解

真

解答ステップ

cos (3 x) = cos^{3} (x) - 3 sin^{2} (x) cos (x)

左側を操作する

cos (3 x)

三角関数の公式を使用して書き換える

cos (3 x)

書き換え

= cos (2 x + x)

角の和の公式を使用する:

cos (s + t) = cos (s) cos (t) - sin (s) sin (t)

= cos (2 x) cos (x) - sin (2 x) sin (x)

2倍角の公式を使用:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= cos (2 x) cos (x) - 2 sin (x) cos (x) sin (x)

簡素化

cos (2 x) cos (x) - 2 sin (x) cos (x) sin (x) : cos (x) cos (2 x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

cos (2 x) cos (x) - 2 sin (x) cos (x) sin (x)

2 sin (x) cos (x) sin (x) = 2 sin^{2} (x) cos (x)

2 sin (x) cos (x) sin (x)

指数の規則を適用する:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= 2 cos (x) sin^{1 + 1} (x)

数を足す:

1 + 1 = 2

= 2 cos (x) sin^{2} (x)

= cos (x) cos (2 x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

= cos (x) cos (2 x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

= cos (x) cos (2 x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

2倍角の公式を使用:

cos (2 x) = cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

= (cos^{2} (x) - sin^{2} (x)) cos (x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

拡張

(cos^{2} (x) - sin^{2} (x)) cos (x) - 2 sin^{2} (x) cos (x) : cos^{3} (x) - 3 sin^{2} (x) cos (x)

(cos^{2} (x) - sin^{2} (x)) cos (x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

= cos (x) (cos^{2} (x) - sin^{2} (x)) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

拡張

cos (x) (cos^{2} (x) - sin^{2} (x)) : cos^{3} (x) - sin^{2} (x) cos (x)

cos (x) (cos^{2} (x) - sin^{2} (x))

分配法則を適用する:

a (b - c) = ab - a c

a = cos (x), b = cos^{2} (x), c = sin^{2} (x)

= cos (x) cos^{2} (x) - cos (x) sin^{2} (x)

= cos^{2} (x) cos (x) - sin^{2} (x) cos (x)

cos^{2} (x) cos (x) = cos^{3} (x)

cos^{2} (x) cos (x)

指数の規則を適用する:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos^{2} (x) cos (x) = cos^{2 + 1} (x)

= cos^{2 + 1} (x)

数を足す:

2 + 1 = 3

= cos^{3} (x)

= cos^{3} (x) - sin^{2} (x) cos (x)

= cos^{3} (x) - sin^{2} (x) cos (x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

類似した元を足す:

- sin^{2} (x) cos (x) - 2 sin^{2} (x) cos (x) = - 3 sin^{2} (x) cos (x)

= cos^{3} (x) - 3 sin^{2} (x) cos (x)

= cos^{3} (x) - 3 sin^{2} (x) cos (x)

両辺を同じ形式にできることを証明した

\Rightarrow 真

人気の例

証明する (1+cot^2(x))tan(x)=csc(x)sec(x)

p ro v e (1 + cot^{2} (x)) tan (x) = csc (x) sec (x)

証明する sin(a+b)+sin(a-b)=2sin(a)cos(b)

p ro v e sin (a + b) + sin (a - b) = 2 sin (a) cos (b)

証明する (cos(x))(1+tan(x))^2=sec(x)+2sin(x)

p ro v e (cos (x)) (1 + tan (x))^{2} = sec (x) + 2 sin (x)

証明する (1+tan^2(x))/(2tan(x))=csc(2x)

p ro v e \frac{1 + tan ^{2} ( x )}{2 tan ( x )} = csc (2 x)

証明する cos(3θ)=cos^3(θ)-3cos(θ)sin^2(θ)

p ro v e cos (3 θ) = cos^{3} (θ) - 3 cos (θ) sin^{2} (θ)