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beweisen cot(x)(sec^2(x)-1)=tan(x)

Lösung

beweisen

cot (x) (sec^{2} (x) - 1) = tan (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

cot (x) (sec^{2} (x) - 1) = tan (x)

Manipuliere die linke Seite

cot (x) (sec^{2} (x) - 1)

Drücke mit sin, cos aus

(- 1 + sec^{2} (x)) cot (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= (- 1 + (\frac{1}{cos ( x )})^{2}) cot (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= (- 1 + (\frac{1}{cos ( x )})^{2}) \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Vereinfache

(- 1 + (\frac{1}{cos ( x )})^{2}) \frac{cos ( x )}{sin ( x )} : \frac{- cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ( x ) sin ( x )}

(- 1 + (\frac{1}{cos ( x )})^{2}) \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{cos ( x ) ( - 1 + ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2} )}{sin ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( x )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{cos ( x ) ( \frac{1}{c o s ^{2} ( x )} - 1 )}{sin ( x )}

Füge

- 1 + \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

zusammen:

\frac{- cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ^{2} ( x )}

- 1 + \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= - \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ^{2} ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{- cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{\frac{- c o s ^{2} ( x ) + 1}{c o s ^{2} ( x )} cos ( x )}{sin ( x )}

Multipliziere

cos (x) \frac{- cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ^{2} ( x )} : \frac{- cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ( x )}

cos (x) \frac{- cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ^{2} ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( - cos ^{2} ( x ) + 1 ) cos ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (x)

= \frac{- cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ( x )}

= \frac{\frac{- c o s ^{2} ( x ) + 1}{c o s ( x )}}{sin ( x )}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{- cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ( x ) sin ( x )}

= \frac{- cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ( x ) sin ( x )}

= \frac{1 - cos ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1 - cos ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (x)

= \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

= tan (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e (1 - cos (x)) (1 + cos (x)) = sin^{2} (x)

p ro v e cot (2 θ) = \frac{cot ^{2} ( θ ) - 1}{2 cot ( θ )}

p ro v e (sec^{2} (x) - 1) cos (x) = sin^{2} (x) sec (x)

p ro v e \frac{2}{cot ( x ) + tan ( x )} = sin (2 x)

p ro v e (1 - cos (θ)) (1 + cos (θ)) = sin^{2} (θ)