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verificar sin(2x)+cos(2x)-1=2sin(x)(cos(x)-sin(x))

Solución

verificar

sin (2 x) + cos (2 x) - 1 = 2 sin (x) (cos (x) - sin (x))

Verdadero

Pasos de solución

sin (2 x) + cos (2 x) - 1 = 2 sin (x) (cos (x) - sin (x))

Manipular el lado derecho

sin (2 x) + cos (2 x) - 1

Re-escribir usando identidades trigonométricas

sin (2 x) + cos (2 x) - 1

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= 2 sin (x) cos (x) + cos (2 x) - 1

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= 2 sin (x) cos (x) + 1 - 2 sin^{2} (x) - 1

Simplificar

2 sin (x) cos (x) + 1 - 2 sin^{2} (x) - 1 : 2 sin (x) cos (x) - 2 sin^{2} (x)

2 sin (x) cos (x) + 1 - 2 sin^{2} (x) - 1

Agrupar términos semejantes

= 2 sin (x) cos (x) - 2 sin^{2} (x) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 2 sin (x) cos (x) - 2 sin^{2} (x)

= 2 sin (x) cos (x) - 2 sin^{2} (x)

= 2 sin (x) cos (x) - 2 sin^{2} (x)

Factorizar

- 2 sin^{2} (x) + 2 cos (x) sin (x) : 2 sin (x) (- sin (x) + cos (x))

- 2 sin^{2} (x) + 2 cos (x) sin (x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

sin^{2} (x) = sin (x) sin (x)

= - 2 sin (x) sin (x) + 2 cos (x) sin (x)

Reescribir como

= - 2 sin (x) sin (x) + 2 sin (x) cos (x)

Factorizar el termino común

2 sin (x)

= 2 sin (x) (- sin (x) + cos (x))

= (cos (x) - sin (x)) \cdot 2 sin (x)

= 2 sin (x) (cos (x) - sin (x))

Se demostró que ambos lados pueden tomar la misma forma

\Rightarrow Verdadero