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Beliebt Trigonometrie >

beweisen sin^3(θ)= 3/4 sin(θ)-1/4 sin(3θ)

Lösung

beweisen

sin^{3} (θ) = \frac{3}{4} sin (θ) - \frac{1}{4} sin (3 θ)

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

sin^{3} (θ) = \frac{3}{4} sin (θ) - \frac{1}{4} sin (3 θ)

Manipuliere die rechte Seite

\frac{3}{4} sin (θ) - \frac{1}{4} sin (3 θ)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{3}{4} sin (θ) - \frac{1}{4} sin (3 θ)

Verwende die folgenden Identitäten:

sin (3 x) = 3 sin (x) - 4 sin^{3} (x)

sin (3 x)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (3 x)

Schreibe um

= sin (2 x + x)

Benutze die Identität der Winkelsumme:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= sin (2 x) cos (x) + cos (2 x) sin (x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= cos (2 x) sin (x) + cos (x) 2 sin (x) cos (x)

Vereinfache

cos (2 x) sin (x) + cos (x) \cdot 2 sin (x) cos (x) : sin (x) cos (2 x) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

cos (2 x) sin (x) + cos (x) 2 sin (x) cos (x)

cos (x) \cdot 2 sin (x) cos (x) = 2 cos^{2} (x) sin (x)

cos (x) 2 sin (x) cos (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= 2 sin (x) cos^{1 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= 2 sin (x) cos^{2} (x)

= sin (x) cos (2 x) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

= sin (x) cos (2 x) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

= sin (x) cos (2 x) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= (1 - 2 sin^{2} (x)) sin (x) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= (1 - 2 sin^{2} (x)) sin (x) + 2 (1 - sin^{2} (x)) sin (x)

Multipliziere aus

(1 - 2 sin^{2} (x)) sin (x) + 2 (1 - sin^{2} (x)) sin (x) : - 4 sin^{3} (x) + 3 sin (x)

(1 - 2 sin^{2} (x)) sin (x) + 2 (1 - sin^{2} (x)) sin (x)

= sin (x) (1 - 2 sin^{2} (x)) + 2 sin (x) (1 - sin^{2} (x))

Multipliziere aus

sin (x) (1 - 2 sin^{2} (x)) : sin (x) - 2 sin^{3} (x)

sin (x) (1 - 2 sin^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = sin (x), b = 1, c = 2 sin^{2} (x)

= sin (x) 1 - sin (x) 2 sin^{2} (x)

= 1 sin (x) - 2 sin^{2} (x) sin (x)

Vereinfache

1 \cdot sin (x) - 2 sin^{2} (x) sin (x) : sin (x) - 2 sin^{3} (x)

1 sin (x) - 2 sin^{2} (x) sin (x)

1 \cdot sin (x) = sin (x)

1 sin (x)

Multipliziere:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= sin (x)

2 sin^{2} (x) sin (x) = 2 sin^{3} (x)

2 sin^{2} (x) sin (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin^{2} (x) sin (x) = sin^{2 + 1} (x)

= 2 sin^{2 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

2 + 1 = 3

= 2 sin^{3} (x)

= sin (x) - 2 sin^{3} (x)

= sin (x) - 2 sin^{3} (x)

= sin (x) - 2 sin^{3} (x) + 2 (1 - sin^{2} (x)) sin (x)

Multipliziere aus

2 sin (x) (1 - sin^{2} (x)) : 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x)

2 sin (x) (1 - sin^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 2 sin (x), b = 1, c = sin^{2} (x)

= 2 sin (x) 1 - 2 sin (x) sin^{2} (x)

= 2 \cdot 1 sin (x) - 2 sin^{2} (x) sin (x)

Vereinfache

2 \cdot 1 \cdot sin (x) - 2 sin^{2} (x) sin (x) : 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x)

2 \cdot 1 sin (x) - 2 sin^{2} (x) sin (x)

2 \cdot 1 \cdot sin (x) = 2 sin (x)

2 \cdot 1 sin (x)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 2 sin (x)

2 sin^{2} (x) sin (x) = 2 sin^{3} (x)

2 sin^{2} (x) sin (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin^{2} (x) sin (x) = sin^{2 + 1} (x)

= 2 sin^{2 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

2 + 1 = 3

= 2 sin^{3} (x)

= 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x)

= 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x)

= sin (x) - 2 sin^{3} (x) + 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x)

Vereinfache

sin (x) - 2 sin^{3} (x) + 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x) : - 4 sin^{3} (x) + 3 sin (x)

sin (x) - 2 sin^{3} (x) + 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 2 sin^{3} (x) - 2 sin^{3} (x) + sin (x) + 2 sin (x)

Addiere gleiche Elemente:

- 2 sin^{3} (x) - 2 sin^{3} (x) = - 4 sin^{3} (x)

= - 4 sin^{3} (x) + sin (x) + 2 sin (x)

Addiere gleiche Elemente:

sin (x) + 2 sin (x) = 3 sin (x)

= - 4 sin^{3} (x) + 3 sin (x)

= - 4 sin^{3} (x) + 3 sin (x)

= - 4 sin^{3} (x) + 3 sin (x)

= 3 sin (x) - 4 sin^{3} (x)

= \frac{3}{4} sin (θ) - \frac{1}{4} (3 sin (θ) - 4 sin^{3} (θ))

Vereinfache

\frac{3}{4} sin (θ) - \frac{1}{4} (3 sin (θ) - 4 sin^{3} (θ)) : sin^{3} (θ)

\frac{3}{4} sin (θ) - \frac{1}{4} (3 sin (θ) - 4 sin^{3} (θ))

Multipliziere aus

- \frac{1}{4} (3 sin (θ) - 4 sin^{3} (θ)) : - \frac{3}{4} sin (θ) + sin^{3} (θ)

- \frac{1}{4} (3 sin (θ) - 4 sin^{3} (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - \frac{1}{4}, b = 3 sin (θ), c = 4 sin^{3} (θ)

= - \frac{1}{4} \cdot 3 sin (θ) - (- \frac{1}{4}) \cdot 4 sin^{3} (θ)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 3 \cdot \frac{1}{4} sin (θ) + 4 \cdot \frac{1}{4} sin^{3} (θ)

Vereinfache

- 3 \cdot \frac{1}{4} sin (θ) + 4 \cdot \frac{1}{4} sin^{3} (θ) : - \frac{3}{4} sin (θ) + sin^{3} (θ)

- 3 \cdot \frac{1}{4} sin (θ) + 4 \cdot \frac{1}{4} sin^{3} (θ)

3 \cdot \frac{1}{4} sin (θ) = \frac{3}{4} sin (θ)

3 \cdot \frac{1}{4} sin (θ)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 3}{4} sin (θ)

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 3 = 3

= \frac{3}{4} sin (θ)

4 \cdot \frac{1}{4} sin^{3} (θ) = sin^{3} (θ)

4 \cdot \frac{1}{4} sin^{3} (θ)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 4}{4} sin^{3} (θ)

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= sin^{3} (θ) \cdot 1

Multipliziere:

sin^{3} (θ) \cdot 1 = sin^{3} (θ)

= sin^{3} (θ)

= - \frac{3}{4} sin (θ) + sin^{3} (θ)

= - \frac{3}{4} sin (θ) + sin^{3} (θ)

= \frac{3}{4} sin (θ) - \frac{3}{4} sin (θ) + sin^{3} (θ)

Addiere gleiche Elemente:

\frac{3}{4} sin (θ) - \frac{3}{4} sin (θ) = 0

\frac{3}{4} sin (θ) - \frac{3}{4} sin (θ)

Klammere gleiche Terme aus

sin (θ)

= sin (θ) (\frac{3}{4} - \frac{3}{4})

\frac{3}{4} - \frac{3}{4} = 0

\frac{3}{4} - \frac{3}{4}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 - 3}{4}

Fasse zusammen

= 0

= 0

= sin^{3} (θ)

= sin^{3} (θ)

= sin^{3} (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

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p ro v e \frac{cos ( x ) sec ( x )}{tan ( x )} = cot (x)

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