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dimostrare (2cot(x))/(csc^2(x))=sin(2x)

Soluzione

dimostrare

\frac{2 cot ( x )}{csc ^{2} ( x )} = sin (2 x)

Vero

Fasi della soluzione

\frac{2 cot ( x )}{csc ^{2} ( x )} = sin (2 x)

Manipolando il lato sinistro

\frac{2 cot ( x )}{csc ^{2} ( x )}

Esprimere con sen e cos

\frac{2 cot ( x )}{csc ^{2} ( x )}

Usare l'identità trigonometrica di base:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{2 \cdot \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}}{csc ^{2} ( x )}

Usare l'identità trigonometrica di base:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{2 \cdot \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}}{( \frac{1}{s i n ( x )} ) ^{2}}

Semplifica

\frac{2 \cdot \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}}{( \frac{1}{s i n ( x )} ) ^{2}} : 2 cos (x) sin (x)

\frac{2 \cdot \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}}{( \frac{1}{s i n ( x )} ) ^{2}}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( x )}

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{2 \cdot \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}}{\frac{1}{s i n ^{2} ( x )}}

Moltiplicare

2 \cdot \frac{cos ( x )}{sin ( x )} : \frac{2 cos ( x )}{sin ( x )}

2 \cdot \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{cos ( x ) \cdot 2}{sin ( x )}

= \frac{\frac{2 c o s ( x )}{s i n ( x )}}{\frac{1}{s i n ^{2} ( x )}}

Dividi le frazioni:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{cos ( x ) \cdot 2 sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) \cdot 1}

Affinare

= \frac{cos ( x ) \cdot 2 sin ^{2} ( x )}{sin ( x )}

Cancella il fattore comune:

sin (x)

= 2 cos (x) sin (x)

= 2 cos (x) sin (x)

= 2 cos (x) sin (x)

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

2 cos (x) sin (x)

Usare l'Identità Doppio Angolo:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

= sin (2 x)

= sin (2 x)

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

p ro v e cos^{4} (x) - sin^{4} (x) = 2 cos^{2} (x) - 1

p ro v e tan (x) (cot (x) + tan (x)) = sec^{2} (x)

p ro v e \frac{1 + sin ( 2 x )}{sin ( 2 x )} = 1 + \frac{1}{2} sec (x) csc (x)

p ro v e \frac{1}{csc ( x ) + 1} + \frac{1}{sin ( x ) + 1} = 1

p ro v e cos (2 u) = cos^{2} (u) - sin^{2} (u)