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Popolare Trigonometria >

dimostrare cos(pi/4-x)+cos(pi/4+x)=sqrt(2)cos(x)

Soluzione

dimostrare

cos (\frac{π}{4} - x) + cos (\frac{π}{4} + x) = 2 cos (x)

Soluzione

Vero

Fasi della soluzione

cos (\frac{π}{4} - x) + cos (\frac{π}{4} + x) = 2 cos (x)

Manipolando il lato sinistro

cos (\frac{π}{4} - x) + cos (\frac{π}{4} + x)

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

cos (\frac{π}{4} - x)

Usa la formula della differenza degli angoli:

cos (s - t) = cos (s) cos (t) + sin (s) sin (t)

= cos (\frac{π}{4}) cos (x) + sin (\frac{π}{4}) sin (x)

Semplifica

cos (\frac{π}{4}) cos (x) + sin (\frac{π}{4}) sin (x) : \frac{2 cos ( x ) + 2 sin ( x )}{2}

cos (\frac{π}{4}) cos (x) + sin (\frac{π}{4}) sin (x)

cos (\frac{π}{4}) cos (x) = \frac{2 cos ( x )}{2}

cos (\frac{π}{4}) cos (x)

Semplifica

cos (\frac{π}{4}) : \frac{2}{2}

cos (\frac{π}{4})

Usare la seguente identità triviale:

cos (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} cos (x)

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 cos ( x )}{2}

sin (\frac{π}{4}) sin (x) = \frac{2 sin ( x )}{2}

sin (\frac{π}{4}) sin (x)

Semplifica

sin (\frac{π}{4}) : \frac{2}{2}

sin (\frac{π}{4})

Usare la seguente identità triviale:

sin (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} sin (x)

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 sin ( x )}{2}

= \frac{2 cos ( x )}{2} + \frac{2 sin ( x )}{2}

Applicare la regola

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 cos ( x ) + 2 sin ( x )}{2}

= \frac{2 cos ( x ) + 2 sin ( x )}{2}

= \frac{2 cos ( x ) + 2 sin ( x )}{2} + cos (\frac{π}{4} + x)

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

cos (\frac{π}{4} + x)

Usa la formula della somma degli angoli:

cos (s + t) = cos (s) cos (t) - sin (s) sin (t)

= cos (\frac{π}{4}) cos (x) - sin (\frac{π}{4}) sin (x)

Semplifica

cos (\frac{π}{4}) cos (x) - sin (\frac{π}{4}) sin (x) : \frac{2 cos ( x ) - 2 sin ( x )}{2}

cos (\frac{π}{4}) cos (x) - sin (\frac{π}{4}) sin (x)

cos (\frac{π}{4}) cos (x) = \frac{2 cos ( x )}{2}

cos (\frac{π}{4}) cos (x)

Semplifica

cos (\frac{π}{4}) : \frac{2}{2}

cos (\frac{π}{4})

Usare la seguente identità triviale:

cos (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} cos (x)

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 cos ( x )}{2}

sin (\frac{π}{4}) sin (x) = \frac{2 sin ( x )}{2}

sin (\frac{π}{4}) sin (x)

Semplifica

sin (\frac{π}{4}) : \frac{2}{2}

sin (\frac{π}{4})

Usare la seguente identità triviale:

sin (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} sin (x)

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 sin ( x )}{2}

= \frac{2 cos ( x )}{2} - \frac{2 sin ( x )}{2}

Applicare la regola

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 cos ( x ) - 2 sin ( x )}{2}

= \frac{2 cos ( x ) - 2 sin ( x )}{2}

= \frac{2 cos ( x ) + 2 sin ( x )}{2} + \frac{2 cos ( x ) - 2 sin ( x )}{2}

Semplifica

\frac{2 cos ( x ) + 2 sin ( x )}{2} + \frac{2 cos ( x ) - 2 sin ( x )}{2} : 2 cos (x)

\frac{2 cos ( x ) + 2 sin ( x )}{2} + \frac{2 cos ( x ) - 2 sin ( x )}{2}

Applicare la regola

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 cos ( x ) + 2 sin ( x ) + 2 cos ( x ) - 2 sin ( x )}{2}

2 cos (x) + 2 sin (x) + 2 cos (x) - 2 sin (x) = 22 cos (x)

2 cos (x) + 2 sin (x) + 2 cos (x) - 2 sin (x)

Aggiungi elementi simili:

2 cos (x) + 2 cos (x) = 22 cos (x)

= 22 cos (x) + 2 sin (x) - 2 sin (x)

Aggiungi elementi simili:

2 sin (x) - 2 sin (x) = 0

= 22 cos (x)

= \frac{2 2 cos ( x )}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= 2 cos (x)

= 2 cos (x)

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

Esempi popolari

dimostrare sin^4(x)-cos^4(x)=-cos(2x)

p ro v e sin^{4} (x) - cos^{4} (x) = - cos (2 x)

dimostrare (cos(x))/(tan(x))=csc(x)-sin(x)

p ro v e \frac{cos ( x )}{tan ( x )} = csc (x) - sin (x)

dimostrare sec^2(θ)csc^2(θ)=sec^2(θ)+csc^2(θ)

p ro v e sec^{2} (θ) csc^{2} (θ) = sec^{2} (θ) + csc^{2} (θ)

dimostrare (1-cos^2(x))sec^2(x)=tan^2(x)

p ro v e (1 - cos^{2} (x)) sec^{2} (x) = tan^{2} (x)

dimostrare sin(θ)cot(θ)sec(θ)=1

p ro v e sin (θ) cot (θ) sec (θ) = 1