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Beliebt Trigonometrie >

beweisen (cos^4(x)-sin^4(x))/(cos^2(x))=1-tan^2(x)

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Lösung

beweisen cos2(x)cos4(x)−sin4(x)​=1−tan2(x)

Lösung

Wahr
Schritte zur Lösung
cos2(x)cos4(x)−sin4(x)​=1−tan2(x)
Manipuliere die linke Seitecos2(x)cos4(x)−sin4(x)​
Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten
cos2(x)cos4(x)−sin4(x)​
Verwende die Pythagoreische Identität: cos2(x)+sin2(x)=1cos2(x)=1−sin2(x)=1−sin2(x)cos4(x)−sin4(x)​
=1−sin2(x)cos4(x)−sin4(x)​
Manipuliere die rechte Seite1−tan2(x)
Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten
1−tan2(x)
Verwende die Pythagoreische Identität: 1=cos2(x)+sin2(x)=cos2(x)+sin2(x)−tan2(x)
=cos2(x)+sin2(x)−tan2(x)
Drücke mit sin, cos aus
cos2(x)+sin2(x)−tan2(x)
Verwende die grundlegende trigonometrische Identität: tan(x)=cos(x)sin(x)​=cos2(x)+sin2(x)−(cos(x)sin(x)​)2
Vereinfache cos2(x)+sin2(x)−(cos(x)sin(x)​)2:cos2(x)cos4(x)+sin2(x)cos2(x)−sin2(x)​
cos2(x)+sin2(x)−(cos(x)sin(x)​)2
Wende Exponentenregel an: (ba​)c=bcac​=cos2(x)+sin2(x)−cos2(x)sin2(x)​
Wandle das Element in einen Bruch um: cos2(x)=cos2(x)cos2(x)cos2(x)​,sin2(x)=cos2(x)sin2(x)cos2(x)​=cos2(x)cos2(x)cos2(x)​+cos2(x)sin2(x)cos2(x)​−cos2(x)sin2(x)​
Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.: ca​±cb​=ca±b​=cos2(x)cos2(x)cos2(x)+sin2(x)cos2(x)−sin2(x)​
cos2(x)cos2(x)+sin2(x)cos2(x)−sin2(x)=cos4(x)+sin2(x)cos2(x)−sin2(x)
cos2(x)cos2(x)+sin2(x)cos2(x)−sin2(x)
cos2(x)cos2(x)=cos4(x)
cos2(x)cos2(x)
Wende Exponentenregel an: ab⋅ac=ab+ccos2(x)cos2(x)=cos2+2(x)=cos2+2(x)
Addiere die Zahlen: 2+2=4=cos4(x)
=cos4(x)+sin2(x)cos2(x)−sin2(x)
=cos2(x)cos4(x)+sin2(x)cos2(x)−sin2(x)​
=cos2(x)cos4(x)+sin2(x)cos2(x)−sin2(x)​
=cos2(x)cos4(x)−sin2(x)+cos2(x)sin2(x)​
Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten
cos2(x)cos4(x)−sin2(x)+cos2(x)sin2(x)​
Verwende die Pythagoreische Identität: cos2(x)+sin2(x)=1cos2(x)=1−sin2(x)=1−sin2(x)cos4(x)−sin2(x)+(1−sin2(x))sin2(x)​
Multipliziere aus cos4(x)−sin2(x)+(1−sin2(x))sin2(x):cos4(x)−sin4(x)
cos4(x)−sin2(x)+(1−sin2(x))sin2(x)
=cos4(x)−sin2(x)+sin2(x)(1−sin2(x))
Multipliziere aus sin2(x)(1−sin2(x)):sin2(x)−sin4(x)
sin2(x)(1−sin2(x))
Wende das Distributivgesetz an: a(b−c)=ab−aca=sin2(x),b=1,c=sin2(x)=sin2(x)⋅1−sin2(x)sin2(x)
=1⋅sin2(x)−sin2(x)sin2(x)
Vereinfache 1⋅sin2(x)−sin2(x)sin2(x):sin2(x)−sin4(x)
1⋅sin2(x)−sin2(x)sin2(x)
1⋅sin2(x)=sin2(x)
1⋅sin2(x)
Multipliziere: 1⋅sin2(x)=sin2(x)=sin2(x)
sin2(x)sin2(x)=sin4(x)
sin2(x)sin2(x)
Wende Exponentenregel an: ab⋅ac=ab+csin2(x)sin2(x)=sin2+2(x)=sin2+2(x)
Addiere die Zahlen: 2+2=4=sin4(x)
=sin2(x)−sin4(x)
=sin2(x)−sin4(x)
=cos4(x)−sin2(x)+sin2(x)−sin4(x)
Addiere gleiche Elemente: −sin2(x)+sin2(x)=0=cos4(x)−sin4(x)
=1−sin2(x)cos4(x)−sin4(x)​
=1−sin2(x)cos4(x)−sin4(x)​
Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können⇒Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen cot(pi/2-x)=tan(x)provecot(2π​−x)=tan(x)beweisen cot^2(x)-csc^2(x)=-1provecot2(x)−csc2(x)=−1beweisen cot(a)sec(a)=csc(a)provecot(a)sec(a)=csc(a)beweisen tan(x/2)+cot(x/2)=2csc(x)provetan(2x​)+cot(2x​)=2csc(x)beweisen sin((3pi)/2+x)=-cos(x)provesin(23π​+x)=−cos(x)
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