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beweisen 2csc(2x)=csc^2(x)tan(x)

Lösung

beweisen

2 csc (2 x) = csc^{2} (x) tan (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

2 csc (2 x) = csc^{2} (x) tan (x)

Manipuliere die linke Seite

2 csc (2 x)

Drücke mit sin, cos aus

2 csc (2 x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= 2 \cdot \frac{1}{sin ( 2 x )}

Vereinfache

2 \cdot \frac{1}{sin ( 2 x )} : \frac{2}{sin ( 2 x )}

2 \cdot \frac{1}{sin ( 2 x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{sin ( 2 x )}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{sin ( 2 x )}

= \frac{2}{sin ( 2 x )}

= \frac{2}{sin ( 2 x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{2}{sin ( 2 x )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= \frac{2}{2 sin ( x ) cos ( x )}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{1}{sin ( x ) cos ( x )}

= \frac{1}{sin ( x ) cos ( x )}

Manipuliere die rechte Seite

csc^{2} (x) tan (x)

Drücke mit sin, cos aus

csc^{2} (x) tan (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= (\frac{1}{sin ( x )})^{2} tan (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= (\frac{1}{sin ( x )})^{2} \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Vereinfache

(\frac{1}{sin ( x )})^{2} \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{1}{sin ( x ) cos ( x )}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2} \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( x ) ( \frac{1}{s i n ( x )} ) ^{2}}{cos ( x )}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( x )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{\frac{1}{s i n ^{2} ( x )} sin ( x )}{cos ( x )}

Multipliziere

sin (x) \frac{1}{sin ^{2} ( x )} : \frac{1}{sin ( x )}

sin (x) \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= \frac{sin ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (x)

= \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{\frac{1}{s i n ( x )}}{cos ( x )}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{1}{sin ( x ) cos ( x )}

= \frac{1}{sin ( x ) cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( x ) sin ( x )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e \frac{sec ^{2} ( t )}{tan ( t )} = cot (t) + tan (t)

p ro v e csc (\frac{π}{2} - x) = sec (x)

p ro v e cos (x) cot (x) = \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ( x )}

p ro v e tan (\frac{π}{2} - x) sec (x) = csc (x)

p ro v e \frac{1}{cos ( x )} - cos (x) = sin (x) tan (x)