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beweisen sin(θ)(csc(θ)-sin(θ))=cos^2(θ)

Lösung

beweisen

sin (θ) (csc (θ) - sin (θ)) = cos^{2} (θ)

Wahr

Schritte zur Lösung

sin (θ) (csc (θ) - sin (θ)) = cos^{2} (θ)

Manipuliere die linke Seite

sin (θ) (csc (θ) - sin (θ))

Drücke mit sin, cos aus

(csc (θ) - sin (θ)) sin (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= (\frac{1}{sin ( θ )} - sin (θ)) sin (θ)

Vereinfache

(\frac{1}{sin ( θ )} - sin (θ)) sin (θ) : 1 - sin^{2} (θ)

(\frac{1}{sin ( θ )} - sin (θ)) sin (θ)

Füge

\frac{1}{sin ( θ )} - sin (θ)

zusammen:

\frac{1 - sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

\frac{1}{sin ( θ )} - sin (θ)

Wandle das Element in einen Bruch um:

sin (θ) = \frac{sin ( θ ) sin ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{1}{sin ( θ )} - \frac{sin ( θ ) sin ( θ )}{sin ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - sin ( θ ) sin ( θ )}{sin ( θ )}

1 - sin (θ) sin (θ) = 1 - sin^{2} (θ)

1 - sin (θ) sin (θ)

sin (θ) sin (θ) = sin^{2} (θ)

sin (θ) sin (θ)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (θ) sin (θ) = sin^{1 + 1} (θ)

= sin^{1 + 1} (θ)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (θ)

= 1 - sin^{2} (θ)

= \frac{1 - sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{- sin ^{2} ( θ ) + 1}{sin ( θ )} sin (θ)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 1 - sin ^{2} ( θ ) ) sin ( θ )}{sin ( θ )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (θ)

= 1 - sin^{2} (θ)

= 1 - sin^{2} (θ)

= 1 - sin^{2} (θ)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

1 - sin^{2} (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= cos^{2} (θ)

= cos^{2} (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e sec (y) cos (y) = 1

p ro v e csc (x) - sin (x) = cos (x) \cdot cot (x)

p ro v e \frac{sec ^{2} ( θ )}{tan ( θ )} = sec (θ) csc (θ)

p ro v e cos (x) + tan (x) sin (x) = sec (x)

p ro v e sin^{4} (y) - cos^{4} (y) = 1 - 2 cos^{2} (y)