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Popolare Trigonometria >

dimostrare (cos(x))/(sec(x)-1)-(cos(x))/(sec(x)+1)=(2cos(x))/(tan^2(x))

Soluzione

dimostrare

\frac{cos ( x )}{sec ( x ) - 1} - \frac{cos ( x )}{sec ( x ) + 1} = \frac{2 cos ( x )}{tan ^{2} ( x )}

Soluzione

Vero

Fasi della soluzione

\frac{cos ( x )}{sec ( x ) - 1} - \frac{cos ( x )}{sec ( x ) + 1} = \frac{2 cos ( x )}{tan ^{2} ( x )}

Manipolando il lato sinistro

\frac{cos ( x )}{sec ( x ) - 1} - \frac{cos ( x )}{sec ( x ) + 1}

Espandi

\frac{cos ( x )}{- 1 + sec ( x )} - \frac{cos ( x )}{1 + sec ( x )} : \frac{2 cos ( x )}{sec ^{2} ( x ) - 1}

\frac{cos ( x )}{- 1 + sec ( x )} - \frac{cos ( x )}{1 + sec ( x )}

Minimo Comune Multiplo di

- 1 + sec (x), 1 + sec (x) : (sec (x) + 1) (sec (x) - 1)

- 1 + sec (x), 1 + sec (x)

Minimo comune multiplo (mcm)

Calcolo di un'espressione composta da fattori che compaiono in

- 1 + sec (x)

1 + sec (x)

= (sec (x) + 1) (sec (x) - 1)

Adeguare le frazioni in base al minimo comune multiplo (mcm)

Moltiplicare ogni numeratore per la stessa quantità necessaria a moltiplicare il suo

corrispondente denominatore per trasformarlo in mcm

(sec (x) + 1) (sec (x) - 1)

Per

\frac{cos ( x )}{- 1 + sec ( x )} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

sec (x) + 1

\frac{cos ( x )}{- 1 + sec ( x )} = \frac{cos ( x ) ( sec ( x ) + 1 )}{( - 1 + sec ( x ) ) ( sec ( x ) + 1 )}

Per

\frac{cos ( x )}{1 + sec ( x )} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

sec (x) - 1

\frac{cos ( x )}{1 + sec ( x )} = \frac{cos ( x ) ( sec ( x ) - 1 )}{( 1 + sec ( x ) ) ( sec ( x ) - 1 )}

= \frac{cos ( x ) ( sec ( x ) + 1 )}{( - 1 + sec ( x ) ) ( sec ( x ) + 1 )} - \frac{cos ( x ) ( sec ( x ) - 1 )}{( 1 + sec ( x ) ) ( sec ( x ) - 1 )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( x ) ( sec ( x ) + 1 ) - cos ( x ) ( sec ( x ) - 1 )}{( sec ( x ) + 1 ) ( sec ( x ) - 1 )}

Espandi

(sec (x) + 1) (sec (x) - 1) : sec^{2} (x) - 1

(sec (x) + 1) (sec (x) - 1)

Applicare la formula differenza di due quadrati:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = sec (x), b = 1

= sec^{2} (x) - 1^{2}

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= sec^{2} (x) - 1

= \frac{cos ( x ) ( sec ( x ) + 1 ) - cos ( x ) ( sec ( x ) - 1 )}{sec ^{2} ( x ) - 1}

Espandi

cos (x) (sec (x) + 1) - cos (x) (sec (x) - 1) : 2 cos (x)

cos (x) (sec (x) + 1) - cos (x) (sec (x) - 1)

Espandi

cos (x) (sec (x) + 1) : cos (x) sec (x) + cos (x)

cos (x) (sec (x) + 1)

Applicare la legge della distribuzione:

a (b + c) = ab + a c

a = cos (x), b = sec (x), c = 1

= cos (x) sec (x) + cos (x) \cdot 1

= cos (x) sec (x) + 1 \cdot cos (x)

Moltiplicare:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= cos (x) sec (x) + cos (x)

= cos (x) sec (x) + cos (x) - cos (x) (sec (x) - 1)

Espandi

- cos (x) (sec (x) - 1) : - cos (x) sec (x) + cos (x)

- cos (x) (sec (x) - 1)

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = - cos (x), b = sec (x), c = 1

= - cos (x) sec (x) - (- cos (x)) \cdot 1

Applicare le regole di sottrazione-addizione

- (- a) = a

= - cos (x) sec (x) + 1 \cdot cos (x)

Moltiplicare:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= - cos (x) sec (x) + cos (x)

= cos (x) sec (x) + cos (x) - cos (x) sec (x) + cos (x)

Semplifica

cos (x) sec (x) + cos (x) - cos (x) sec (x) + cos (x) : 2 cos (x)

cos (x) sec (x) + cos (x) - cos (x) sec (x) + cos (x)

Aggiungi elementi simili:

cos (x) sec (x) - cos (x) sec (x) = 0

= cos (x) + cos (x)

Aggiungi elementi simili:

cos (x) + cos (x) = 2 cos (x)

= 2 cos (x)

= 2 cos (x)

= \frac{2 cos ( x )}{sec ^{2} ( x ) - 1}

= \frac{2 cos ( x )}{- 1 + sec ^{2} ( x )}

Manipolando il lato destro

\frac{2 cos ( x )}{tan ^{2} ( x )}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

\frac{2 cos ( x )}{tan ^{2} ( x )}

Usa l'identità pitagorica:

tan^{2} (x) + 1 = sec^{2} (x)

tan^{2} (x) = sec^{2} (x) - 1

= \frac{2 cos ( x )}{sec ^{2} ( x ) - 1}

= \frac{2 cos ( x )}{sec ^{2} ( x ) - 1}

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

Esempi popolari

dimostrare (cot(a))/(cos(a))=csc(a)

p ro v e \frac{cot ( a )}{cos ( a )} = csc (a)

dimostrare cos(2θ)=(2-sec^2(θ))/(sec^2(θ))

p ro v e cos (2 θ) = \frac{2 - sec ^{2} ( θ )}{sec ^{2} ( θ )}

dimostrare (tan(x)+sec(x))(1-sin(x))=cos(x)

p ro v e (tan (x) + sec (x)) (1 - sin (x)) = cos (x)

dimostrare (csc^4(x)-1)/(cot^2(x))=csc^2(x)+1

p ro v e \frac{csc ^{4} ( x ) - 1}{cot ^{2} ( x )} = csc^{2} (x) + 1

dimostrare sin(θ)+cos(θ)=sqrt(2)sin(θ+45)

p ro v e sin (θ) + cos (θ) = 2 sin (θ + 4 5^{\circ})