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Popular Trigonometría >

verificar (sin(2x))/(1-cos(2x))=2csc(2x)-tan(x)

Solución

verificar

\frac{sin ( 2 x )}{1 - cos ( 2 x )} = 2 csc (2 x) - tan (x)

Solución

Verdadero

Pasos de solución

\frac{sin ( 2 x )}{1 - cos ( 2 x )} = 2 csc (2 x) - tan (x)

Manipular el lado derecho

\frac{sin ( 2 x )}{1 - cos ( 2 x )}

Re-escribir usando identidades trigonométricas

\frac{sin ( 2 x )}{1 - cos ( 2 x )}

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= \frac{2 sin ( x ) cos ( x )}{1 - cos ( 2 x )}

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= \frac{2 sin ( x ) cos ( x )}{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( x ) )}

Simplificar

\frac{2 sin ( x ) cos ( x )}{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( x ) )} : \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

\frac{2 sin ( x ) cos ( x )}{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( x ) )}

Expandir

1 - (1 - 2 sin^{2} (x)) : 2 sin^{2} (x)

1 - (1 - 2 sin^{2} (x))

- (1 - 2 sin^{2} (x)) : - 1 + 2 sin^{2} (x)

- (1 - 2 sin^{2} (x))

Poner los parentesis

= - (1) - (- 2 sin^{2} (x))

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + 2 sin^{2} (x)

= 1 - 1 + 2 sin^{2} (x)

1 - 1 = 0

= 2 sin^{2} (x)

= \frac{2 sin ( x ) cos ( x )}{2 sin ^{2} ( x )}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{sin ( x ) cos ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Eliminar los terminos comunes:

sin (x)

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Manipular el lado izquierdo

2 csc (2 x) - tan (x)

Expresar con seno, coseno

- tan (x) + 2 csc (2 x)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} + 2 csc (2 x)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} + 2 \cdot \frac{1}{sin ( 2 x )}

Simplificar

- \frac{sin ( x )}{cos ( x )} + 2 \cdot \frac{1}{sin ( 2 x )} : \frac{- sin ( x ) sin ( 2 x ) + 2 cos ( x )}{cos ( x ) sin ( 2 x )}

- \frac{sin ( x )}{cos ( x )} + 2 \cdot \frac{1}{sin ( 2 x )}

2 \cdot \frac{1}{sin ( 2 x )} = \frac{2}{sin ( 2 x )}

2 \cdot \frac{1}{sin ( 2 x )}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{sin ( 2 x )}

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{sin ( 2 x )}

= - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} + \frac{2}{sin ( 2 x )}

Mínimo común múltiplo de

cos (x), sin (2 x) : cos (x) sin (2 x)

cos (x), sin (2 x)

Mínimo común múltiplo (MCM)

Calcular una expresión que este compuesta de factores que aparezcan tanto en

cos (x)

sin (2 x)

= cos (x) sin (2 x)

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

sin (2 x)

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{sin ( x ) sin ( 2 x )}{cos ( x ) sin ( 2 x )}

Para

\frac{2}{sin ( 2 x )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

cos (x)

\frac{2}{sin ( 2 x )} = \frac{2 cos ( x )}{sin ( 2 x ) cos ( x )}

= - \frac{sin ( x ) sin ( 2 x )}{cos ( x ) sin ( 2 x )} + \frac{2 cos ( x )}{sin ( 2 x ) cos ( x )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- sin ( x ) sin ( 2 x ) + 2 cos ( x )}{cos ( x ) sin ( 2 x )}

= \frac{- sin ( x ) sin ( 2 x ) + 2 cos ( x )}{cos ( x ) sin ( 2 x )}

= \frac{2 cos ( x ) - sin ( 2 x ) sin ( x )}{cos ( x ) sin ( 2 x )}

Re-escribir usando identidades trigonométricas

\frac{2 cos ( x ) - sin ( 2 x ) sin ( x )}{cos ( x ) sin ( 2 x )}

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= \frac{2 cos ( x ) - 2 sin ( x ) cos ( x ) sin ( x )}{cos ( x ) \cdot 2 sin ( x ) cos ( x )}

Simplificar

\frac{2 cos ( x ) - 2 sin ( x ) cos ( x ) sin ( x )}{cos ( x ) \cdot 2 sin ( x ) cos ( x )} : \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

\frac{2 cos ( x ) - 2 sin ( x ) cos ( x ) sin ( x )}{cos ( x ) \cdot 2 sin ( x ) cos ( x )}

2 cos (x) - 2 sin (x) cos (x) sin (x) = 2 cos (x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

2 cos (x) - 2 sin (x) cos (x) sin (x)

2 sin (x) cos (x) sin (x) = 2 sin^{2} (x) cos (x)

2 sin (x) cos (x) sin (x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= 2 cos (x) sin^{1 + 1} (x)

Sumar:

1 + 1 = 2

= 2 cos (x) sin^{2} (x)

= 2 cos (x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

= \frac{2 cos ( x ) - 2 sin ^{2} ( x ) cos ( x )}{2 cos ( x ) sin ( x ) cos ( x )}

cos (x) \cdot 2 sin (x) cos (x) = 2 cos^{2} (x) sin (x)

cos (x) \cdot 2 sin (x) cos (x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= 2 sin (x) cos^{1 + 1} (x)

Sumar:

1 + 1 = 2

= 2 sin (x) cos^{2} (x)

= \frac{2 cos ( x ) - 2 sin ^{2} ( x ) cos ( x )}{2 cos ^{2} ( x ) sin ( x )}

Factorizar

2 cos (x) - 2 cos (x) sin^{2} (x) : 2 cos (x) (1 - sin^{2} (x))

2 cos (x) - 2 cos (x) sin^{2} (x)

Reescribir como

= 1 \cdot 2 cos (x) - 2 cos (x) sin^{2} (x)

Factorizar el termino común

2 cos (x)

= 2 cos (x) (1 - sin^{2} (x))

= \frac{2 cos ( x ) ( 1 - sin ^{2} ( x ) )}{2 sin ( x ) cos ^{2} ( x )}

Cancelar

\frac{2 cos ( x ) ( 1 - sin ^{2} ( x ) )}{2 sin ( x ) cos ^{2} ( x )} : \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

\frac{2 cos ( x ) ( 1 - sin ^{2} ( x ) )}{2 sin ( x ) cos ^{2} ( x )}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{cos ( x ) ( - sin ^{2} ( x ) + 1 )}{cos ^{2} ( x ) sin ( x )}

Eliminar los terminos comunes:

cos (x)

= \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

= \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

= \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

Utilizar la identidad pitagórica:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

Eliminar los terminos comunes:

cos (x)

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Se demostró que ambos lados pueden tomar la misma forma

\Rightarrow Verdadero

Ejemplos populares

verificar tan(x)=tan(x)*csc^2(x)+cot(-x)

verificar (1-cos(2θ)+sin(2θ))/(1+cos(2θ)+sin(2θ))=tan(θ)

verificar cot(x)sec^2(x)-cot(x)=tan(x)

verificar cos(-pi/4-5t)=cos(5t+pi/4)

verificar tan(pi/4-θ)=(1-tan(θ))/(1+tan(θ))