English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

פּוֹפּוּלָרִי טריגונומטריה >

prove 1/(1+sin(x))+1/(1-sin(x))=2+2tan^2(x)

פתרון

prove

\frac{1}{1 + sin ( x )} + \frac{1}{1 - sin ( x )} = 2 + 2 tan^{2} (x)

פתרון

נכון

צעדי פתרון

\frac{1}{1 + sin ( x )} + \frac{1}{1 - sin ( x )} = 2 + 2 tan^{2} (x)

עבוד על אגף שמאל

\frac{1}{1 + sin ( x )} + \frac{1}{1 - sin ( x )}

\frac{1}{1 + sin ( x )} + \frac{1}{1 - sin ( x )}

פשט את:

\frac{2}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

\frac{1}{1 + sin ( x )} + \frac{1}{1 - sin ( x )}

1 + sin (x), 1 - sin (x)

הכפולה המשותפת המינימלית של:

(sin (x) + 1) (- sin (x) + 1)

1 + sin (x), 1 - sin (x)

Lowest Common Multiplier (LCM)

Compute an expression comprised of factors that appear either in

1 + sin (x)

1 - sin (x)

= (sin (x) + 1) (- sin (x) + 1)

כתוב מחדש את השברים כך שהמכנה יהיה משותף

(sin (x) + 1) (- sin (x) + 1)

הכפל כל מונה ומכנה בביטוי שיביא לכך שהמכנה יהיה משותף

- sin (x) + 1

הכפל את המכנה והמונה ב

: \frac{1}{1 + sin ( x )}

עבור

\frac{1}{1 + sin ( x )} = \frac{1 \cdot ( - sin ( x ) + 1 )}{( 1 + sin ( x ) ) ( - sin ( x ) + 1 )} = \frac{- sin ( x ) + 1}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

sin (x) + 1

הכפל את המכנה והמונה ב

: \frac{1}{1 - sin ( x )}

עבור

\frac{1}{1 - sin ( x )} = \frac{1 \cdot ( sin ( x ) + 1 )}{( 1 - sin ( x ) ) ( sin ( x ) + 1 )} = \frac{sin ( x ) + 1}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

= \frac{- sin ( x ) + 1}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )} + \frac{sin ( x ) + 1}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:מאחר והמכנים שווים, חבר את המונים

= \frac{- sin ( x ) + 1 + sin ( x ) + 1}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

- sin (x) + 1 + sin (x) + 1 = 2

- sin (x) + 1 + sin (x) + 1

קבץ ביטויים דומים יחד

= - sin (x) + sin (x) + 1 + 1

- sin (x) + sin (x) = 0 :

חבר איברים דומים

= 1 + 1

1 + 1 = 2 :

חבר את המספרים

= 2

= \frac{2}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

= \frac{2}{( 1 + sin ( x ) ) ( 1 - sin ( x ) )}

Rewrite using trig identities

\frac{2}{( 1 + sin ( x ) ) ( 1 - sin ( x ) )}

(1 + sin (x)) (1 - sin (x))

הרחב את:

1 - sin^{2} (x)

(1 + sin (x)) (1 - sin (x))

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

הפעל את חוק הפרש הריבועים

a = 1, b = sin (x)

= 1^{2} - sin^{2} (x)

1^{a} = 1

הפעל את החוק

1^{2} = 1

= 1 - sin^{2} (x)

= \frac{2}{1 - sin ^{2} ( x )}

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

:הפעל זהות פיטגורית

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{2}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{2}{cos ^{2} ( x )}

עבוד על אגף ימין

2 + 2 tan^{2} (x)

2 + 2 tan^{2} (x)

פרק לגורמים את:

2 (1 + tan^{2} (x))

2 + 2 tan^{2} (x)

כתוב מחדש בתור

= 2 \cdot 1 + 2 tan^{2} (x)

2

הוצא את הגורם המשותף

= 2 (1 + tan^{2} (x))

= (1 + tan^{2} (x)) \cdot 2

sin, cos :

בטא באמצאות

(1 + tan^{2} (x)) \cdot 2

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

:Use the basic trigonometric identity

= (1 + (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}) \cdot 2

(1 + (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}) \cdot 2

פשט את:

\frac{2 ( cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) )}{cos ^{2} ( x )}

(1 + (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}) \cdot 2

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

:הפעל את חוק החזקות

= 2 (\frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + 1)

1 + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

אחד את:

\frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

1 + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

1 = \frac{1 cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

:המר את המספרים לשברים

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:מאחר והמכנים שווים, חבר את המונים

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

1 \cdot cos^{2} (x) = cos^{2} (x) :

הכפל

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= 2 \cdot \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

:הכפל שברים

= \frac{( cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) ) \cdot 2}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{2 ( cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{( cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) ) \cdot 2}{cos ^{2} ( x )}

Rewrite using trig identities

\frac{( cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) ) \cdot 2}{cos ^{2} ( x )}

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

:הפעל זהות פיטגורית

= \frac{1 \cdot 2}{cos ^{2} ( x )}

פשט

= \frac{2}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{2}{cos ^{2} ( x )}

הראנו ששני האגפים יכולים להיות מאותה הצורה

\Rightarrow נכון

דוגמאות פופולריות

prove sec(2x)=(sec^2(x))/(1-tan^2(x))

p ro v e sec (2 x) = \frac{sec ^{2} ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

prove (sin(3x)-sin(5x))/(2cos(4x))=-sin(x)

p ro v e \frac{sin ( 3 x ) - sin ( 5 x )}{2 cos ( 4 x )} = - sin (x)

prove tan(a)+cot(a)=2csc(2a)

p ro v e tan (a) + cot (a) = 2 csc (2 a)

prove (sec(t)-1)/(tan(t))=(tan(t))/(sec(t)+1)

p ro v e \frac{sec ( t ) - 1}{tan ( t )} = \frac{tan ( t )}{sec ( t ) + 1}

prove 3cos^2(x)-3sin^2(x)=3-6sin^2(x)

p ro v e 3 cos^{2} (x) - 3 sin^{2} (x) = 3 - 6 sin^{2} (x)