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dimostrare csc(2A)+cot(2A)=cot(A)

Soluzione

dimostrare

csc (2 A) + cot (2 A) = cot (A)

Vero

Fasi della soluzione

csc (2 A) + cot (2 A) = cot (A)

Manipolando il lato sinistro

csc (2 A) + cot (2 A)

Esprimere con sen e cos

cot (2 A) + csc (2 A)

Usare l'identità trigonometrica di base:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( 2 A )}{sin ( 2 A )} + csc (2 A)

Usare l'identità trigonometrica di base:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{cos ( 2 A )}{sin ( 2 A )} + \frac{1}{sin ( 2 A )}

Semplifica

\frac{cos ( 2 A )}{sin ( 2 A )} + \frac{1}{sin ( 2 A )} : \frac{cos ( 2 A ) + 1}{sin ( 2 A )}

\frac{cos ( 2 A )}{sin ( 2 A )} + \frac{1}{sin ( 2 A )}

Applicare la regola

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( 2 A ) + 1}{sin ( 2 A )}

= \frac{cos ( 2 A ) + 1}{sin ( 2 A )}

= \frac{1 + cos ( 2 A )}{sin ( 2 A )}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

\frac{1 + cos ( 2 A )}{sin ( 2 A )}

Usare l'Identità Doppio Angolo:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= \frac{1 + cos ( 2 A )}{2 sin ( A ) cos ( A )}

Usare l'Identità Doppio Angolo:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= \frac{1 + 2 cos ^{2} ( A ) - 1}{2 sin ( A ) cos ( A )}

Semplifica

\frac{1 + 2 cos ^{2} ( A ) - 1}{2 sin ( A ) cos ( A )} : \frac{cos ( A )}{sin ( A )}

\frac{1 + 2 cos ^{2} ( A ) - 1}{2 sin ( A ) cos ( A )}

1 + 2 cos^{2} (A) - 1 = 2 cos^{2} (A)

1 + 2 cos^{2} (A) - 1

Raggruppa termini simili

= 2 cos^{2} (A) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 2 cos^{2} (A)

= \frac{2 cos ^{2} ( A )}{2 sin ( A ) cos ( A )}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{cos ^{2} ( A )}{sin ( A ) cos ( A )}

Cancella il fattore comune:

cos (A)

= \frac{cos ( A )}{sin ( A )}

= \frac{cos ( A )}{sin ( A )}

= \frac{cos ( A )}{sin ( A )}

Usare l'identità trigonometrica di base:

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

= cot (A)

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

p ro v e sin (x) - cos (x) = 1 - sin (2 x)

p ro v e 9 sec^{2} (x) - 5 tan^{2} (x) = 5 + 4 sec^{2} (x)

p ro v e sin (3 A) = 3 sin (A) - 4 sin^{3} (A)

p ro v e cot^{4} (x) + cot^{2} (x) = cot^{2} (x) csc^{2} (x)

p ro v e cot^{3} (x) = cot (x) (csc^{2} (x) - 1)