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prouver tan(2A)-2tan(2A)sin^2(A)=sin(2A)

Solution

prouver

tan (2 A) - 2 tan (2 A) sin^{2} (A) = sin (2 A)

vrai

étapes des solutions

tan (2 A) - 2 tan (2 A) sin^{2} (A) = sin (2 A)

En manipulant le côté gauche

tan (2 A) - 2 tan (2 A) sin^{2} (A)

Exprimer avec sinus, cosinus

tan (2 A) - 2 sin^{2} (A) tan (2 A)

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( 2 A )}{cos ( 2 A )} - 2 sin^{2} (A) \frac{sin ( 2 A )}{cos ( 2 A )}

Simplifier

\frac{sin ( 2 A )}{cos ( 2 A )} - 2 sin^{2} (A) \frac{sin ( 2 A )}{cos ( 2 A )} : \frac{sin ( 2 A ) - 2 sin ^{2} ( A ) sin ( 2 A )}{cos ( 2 A )}

\frac{sin ( 2 A )}{cos ( 2 A )} - 2 sin^{2} (A) \frac{sin ( 2 A )}{cos ( 2 A )}

Multiplier

2 sin^{2} (A) \frac{sin ( 2 A )}{cos ( 2 A )} : \frac{2 sin ^{2} ( A ) sin ( 2 A )}{cos ( 2 A )}

2 sin^{2} (A) \frac{sin ( 2 A )}{cos ( 2 A )}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( 2 A ) \cdot 2 sin ^{2} ( A )}{cos ( 2 A )}

= \frac{sin ( 2 A )}{cos ( 2 A )} - \frac{2 sin ^{2} ( A ) sin ( 2 A )}{cos ( 2 A )}

Appliquer la règle

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( 2 A ) - 2 sin ^{2} ( A ) sin ( 2 A )}{cos ( 2 A )}

= \frac{sin ( 2 A ) - 2 sin ^{2} ( A ) sin ( 2 A )}{cos ( 2 A )}

= \frac{sin ( 2 A ) - 2 sin ( 2 A ) sin ^{2} ( A )}{cos ( 2 A )}

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

\frac{sin ( 2 A ) - 2 sin ( 2 A ) sin ^{2} ( A )}{cos ( 2 A )}

Utiliser l'identité d'angle double:

1 - 2 sin^{2} (x) = cos (2 x)

- 2 sin^{2} (x) = cos (2 x) - 1

= \frac{sin ( 2 A ) + ( cos ( 2 A ) - 1 ) sin ( 2 A )}{cos ( 2 A )}

Simplifier

\frac{sin ( 2 A ) + ( cos ( 2 A ) - 1 ) sin ( 2 A )}{cos ( 2 A )} : sin (2 A)

\frac{sin ( 2 A ) + ( cos ( 2 A ) - 1 ) sin ( 2 A )}{cos ( 2 A )}

Factoriser

sin (2 A) + (cos (2 A) - 1) sin (2 A) : sin (2 A) cos (2 A)

sin (2 A) + (cos (2 A) - 1) sin (2 A)

Factoriser le terme commun

sin (2 A)

= sin (2 A) (1 - 1 + cos (2 A))

Redéfinir

= sin (2 A) cos (2 A)

= \frac{sin ( 2 A ) cos ( 2 A )}{cos ( 2 A )}

Annuler le facteur commun :

cos (2 A)

= sin (2 A)

= sin (2 A)

= sin (2 A)

Nous avons démontré que les deux côtés pourraient avoir la même forme

\Rightarrow vrai

p ro v e sin^{2} (x) = \frac{1}{csc ^{2} ( x )}

p ro v e \frac{cot ( 4 u ) - 1}{cot ( 4 u ) + 1} = \frac{1 - tan ( 4 u )}{1 + tan ( 4 u )}

p ro v e sin (- x) = sin (x - π)

p ro v e sin (4 a) = 4 sin (a) cos (a) cos (2 a)

p ro v e 3 cos^{2} (x) - 2 = 1 - 3 sin^{2} (x)