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beweisen (sin(x))/(1-cos(x))=cot(x)+csc(x)

Lösung

beweisen

\frac{sin ( x )}{1 - cos ( x )} = cot (x) + csc (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{sin ( x )}{1 - cos ( x )} = cot (x) + csc (x)

Manipuliere die linke Seite

\frac{sin ( x )}{1 - cos ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{sin ( x )}{1 - cos ( x )}

Multipliziere mit

\frac{1 + cos ( x )}{1 + cos ( x )}

= \frac{sin ( x )}{\frac{( 1 - c o s ( x ) ) ( 1 + c o s ( x ) )}{1 + c o s ( x )}}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(1 - cos (x)) (1 + cos (x)) = 1 - cos^{2} (x)

= \frac{sin ( x )}{\frac{1 - c o s ^{2} ( x )}{1 + c o s ( x )}}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{sin ( x )}{\frac{s i n ^{2} ( x )}{1 + c o s ( x )}}

Vereinfache

\frac{sin ( x )}{\frac{s i n ^{2} ( x )}{1 + c o s ( x )}} : \frac{1 + cos ( x )}{sin ( x )}

\frac{sin ( x )}{\frac{s i n ^{2} ( x )}{1 + c o s ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{sin ( x ) ( 1 + cos ( x ) )}{sin ^{2} ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (x)

= \frac{1 + cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1 + cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1 + cos ( x )}{sin ( x )}

Manipuliere die rechte Seite

cot (x) + csc (x)

Drücke mit sin, cos aus

cot (x) + csc (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )} + csc (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )} + \frac{1}{sin ( x )}

Vereinfache

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} + \frac{1}{sin ( x )} : \frac{cos ( x ) + 1}{sin ( x )}

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} + \frac{1}{sin ( x )}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( x ) + 1}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x ) + 1}{sin ( x )}

= \frac{1 + cos ( x )}{sin ( x )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e tan (3 0^{\circ}) = \frac{sin ( 3 0 ^{\circ} )}{cos ( 3 0 ^{\circ} )}

p ro v e tan (2 x) - sin (2 x) = tan (2 x) sin (2 x)

p ro v e \frac{2 - sec ^{2} ( x )}{sec ^{2} ( x )} = cos (2 x)

p ro v e \frac{cos ( β )}{1 - sin ( β )} = sec (β) + tan (β)

p ro v e tan^{2} (y) - sin^{2} (y) = tan^{2} (y) sin^{2} (y)