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beweisen sin(θ)(1+cot^2(θ))=csc(θ)

Lösung

beweisen

sin (θ) (1 + cot^{2} (θ)) = csc (θ)

Wahr

Schritte zur Lösung

sin (θ) (1 + cot^{2} (θ)) = csc (θ)

Manipuliere die linke Seite

sin (θ) (1 + cot^{2} (θ))

Drücke mit sin, cos aus

(1 + cot^{2} (θ)) sin (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= (1 + (\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )})^{2}) sin (θ)

Vereinfache

(1 + (\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )})^{2}) sin (θ) : \frac{sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

(1 + (\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )})^{2}) sin (θ)

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= sin (θ) (\frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} + 1)

Füge

1 + \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

zusammen:

\frac{sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

1 + \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} + \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Multipliziere:

1 \cdot sin^{2} (θ) = sin^{2} (θ)

= \frac{sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} sin (θ)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ ) ) sin ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (θ)

= \frac{sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1}{sin ( θ )}

= \frac{1}{sin ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{1}{\frac{1}{c s c ( θ )}}

Vereinfache

\frac{1}{\frac{1}{c s c ( θ )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{csc ( θ )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= csc (θ)

csc (θ)

csc (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e 5 + cot^{2} (x) = 4 + csc^{2} (x)

p ro v e sin^{2} (2 x) = \frac{1 - cos ( 4 x )}{2}

p ro v e cot (2 θ) = \frac{csc ( θ ) - 2 sin ( θ )}{2 cos ( θ )}

p ro v e sin^{2} (θ) sec^{2} (θ) csc^{2} (θ) = sec^{2} (θ)

p ro v e \frac{csc ^{2} ( x )}{cot ( x )} = sec (x) csc (x)