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Popular Trigonometría >

verificar (cos(A))/(1+sin(A))+(cos(A))/(1-sin(A))=2sec(A)

Solución

verificar

\frac{cos ( A )}{1 + sin ( A )} + \frac{cos ( A )}{1 - sin ( A )} = 2 sec (A)

Solución

Verdadero

Pasos de solución

\frac{cos ( A )}{1 + sin ( A )} + \frac{cos ( A )}{1 - sin ( A )} = 2 sec (A)

Manipular el lado derecho

\frac{cos ( A )}{1 + sin ( A )} + \frac{cos ( A )}{1 - sin ( A )}

Re-escribir usando identidades trigonométricas

\frac{cos ( A )}{1 + sin ( A )} + \frac{cos ( A )}{1 - sin ( A )}

Multiplicar

\frac{1 + sin ( A )}{1 + sin ( A )}

por

Eq u a t i o n 1

= \frac{cos ( A )}{1 + sin ( A )} + \frac{cos ( A )}{\frac{( 1 - s i n ( A ) ) ( 1 + s i n ( A ) )}{1 + s i n ( A )}}

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

A^{2} - y^{2} = (A + y) (A - y)

(1 - sin (A)) (1 + sin (A)) = 1 - sin^{2} (A)

= \frac{cos ( A )}{1 + sin ( A )} + \frac{cos ( A )}{\frac{1 - s i n ^{2} ( A )}{1 + s i n ( A )}}

Utilizar la identidad pitagórica:

1 = cos^{2} (A) + sin^{2} (A)

1 - sin^{2} (A) = cos^{2} (A)

= \frac{cos ( A )}{1 + sin ( A )} + \frac{cos ( A )}{\frac{c o s ^{2} ( A )}{1 + s i n ( A )}}

\frac{cos ( A )}{\frac{c o s ^{2} ( A )}{1 + s i n ( A )}} = \frac{1 + sin ( A )}{cos ( A )}

\frac{cos ( A )}{\frac{c o s ^{2} ( A )}{1 + s i n ( A )}}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{cos ( A ) ( 1 + sin ( A ) )}{cos ^{2} ( A )}

Eliminar los terminos comunes:

cos (A)

= \frac{1 + sin ( A )}{cos ( A )}

= \frac{cos ( A )}{sin ( A ) + 1} + \frac{sin ( A ) + 1}{cos ( A )}

= \frac{cos ( A )}{sin ( A ) + 1} + \frac{sin ( A ) + 1}{cos ( A )}

Simplificar

\frac{1 + sin ( A )}{cos ( A )} + \frac{cos ( A )}{1 + sin ( A )} : \frac{( 1 + sin ( A ) ) ^{2} + cos ^{2} ( A )}{cos ( A ) ( sin ( A ) + 1 )}

\frac{1 + sin ( A )}{cos ( A )} + \frac{cos ( A )}{1 + sin ( A )}

Mínimo común múltiplo de

cos (A), 1 + sin (A) : cos (A) (sin (A) + 1)

cos (A), 1 + sin (A)

Mínimo común múltiplo (MCM)

Calcular una expresión que este compuesta de factores que aparezcan tanto en

cos (A)

1 + sin (A)

= cos (A) (sin (A) + 1)

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{1 + sin ( A )}{cos ( A )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

sin (A) + 1

\frac{1 + sin ( A )}{cos ( A )} = \frac{( 1 + sin ( A ) ) ( sin ( A ) + 1 )}{cos ( A ) ( sin ( A ) + 1 )} = \frac{( 1 + sin ( A ) ) ^{2}}{cos ( A ) ( sin ( A ) + 1 )}

Para

\frac{cos ( A )}{1 + sin ( A )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

cos (A)

\frac{cos ( A )}{1 + sin ( A )} = \frac{cos ( A ) cos ( A )}{( 1 + sin ( A ) ) cos ( A )} = \frac{cos ^{2} ( A )}{cos ( A ) ( sin ( A ) + 1 )}

= \frac{( 1 + sin ( A ) ) ^{2}}{cos ( A ) ( sin ( A ) + 1 )} + \frac{cos ^{2} ( A )}{cos ( A ) ( sin ( A ) + 1 )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{( 1 + sin ( A ) ) ^{2} + cos ^{2} ( A )}{cos ( A ) ( sin ( A ) + 1 )}

= \frac{( 1 + sin ( A ) ) ^{2} + cos ^{2} ( A )}{( 1 + sin ( A ) ) cos ( A )}

Re-escribir usando identidades trigonométricas

\frac{( 1 + sin ( A ) ) ^{2} + cos ^{2} ( A )}{( 1 + sin ( A ) ) cos ( A )}

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= \frac{( 1 + sin ( A ) ) ^{2} + 1 - sin ^{2} ( A )}{( 1 + sin ( A ) ) cos ( A )}

Simplificar

\frac{( 1 + sin ( A ) ) ^{2} + 1 - sin ^{2} ( A )}{( 1 + sin ( A ) ) cos ( A )} : \frac{2}{cos ( A )}

\frac{( 1 + sin ( A ) ) ^{2} + 1 - sin ^{2} ( A )}{( 1 + sin ( A ) ) cos ( A )}

Expandir

(1 + sin (A))^{2} + 1 - sin^{2} (A) : 2 sin (A) + 2

(1 + sin (A))^{2} + 1 - sin^{2} (A)

(1 + sin (A))^{2} : 1 + 2 sin (A) + sin^{2} (A)

Aplicar la formula del binomio al cuadrado:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = 1, b = sin (A)

= 1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot sin (A) + sin^{2} (A)

Simplificar

1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot sin (A) + sin^{2} (A) : 1 + 2 sin (A) + sin^{2} (A)

1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot sin (A) + sin^{2} (A)

Aplicar la regla

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 + 2 \cdot 1 \cdot sin (A) + sin^{2} (A)

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= 1 + 2 sin (A) + sin^{2} (A)

= 1 + 2 sin (A) + sin^{2} (A)

= 1 + 2 sin (A) + sin^{2} (A) + 1 - sin^{2} (A)

Simplificar

1 + 2 sin (A) + sin^{2} (A) + 1 - sin^{2} (A) : 2 sin (A) + 2

1 + 2 sin (A) + sin^{2} (A) + 1 - sin^{2} (A)

Agrupar términos semejantes

= 2 sin (A) + sin^{2} (A) - sin^{2} (A) + 1 + 1

Sumar elementos similares:

sin^{2} (A) - sin^{2} (A) = 0

= 2 sin (A) + 1 + 1

Sumar:

1 + 1 = 2

= 2 sin (A) + 2

= 2 sin (A) + 2

= \frac{2 sin ( A ) + 2}{cos ( A ) ( sin ( A ) + 1 )}

Factorizar

2 sin (A) + 2 : 2 (sin (A) + 1)

2 sin (A) + 2

Reescribir como

= 2 sin (A) + 2 \cdot 1

Factorizar el termino común

2

= 2 (sin (A) + 1)

= \frac{2 ( sin ( A ) + 1 )}{( 1 + sin ( A ) ) cos ( A )}

Eliminar los terminos comunes:

sin (A) + 1

= \frac{2}{cos ( A )}

= \frac{2}{cos ( A )}

= \frac{2}{cos ( A )}

Re-escribir usando identidades trigonométricas

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{2}{\frac{1}{s e c ( A )}}

Simplificar

\frac{2}{\frac{1}{s e c ( A )}}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{2 sec ( A )}{1}

Aplicar la regla

\frac{a}{1} = a

= 2 sec (A)

2 sec (A)

2 sec (A)

Se demostró que ambos lados pueden tomar la misma forma

\Rightarrow Verdadero

Ejemplos populares

verificar cot(x/2)=(sin(x))/(1-cos(x))

verificar-tan(y)+sec(y)=(cos(y))/(1+sin(y))

verificar sin(2z)=2sin(z)cos(z)

verificar cot(x/2)=((1+cos(x)))/(sin(x))

verificar 1/(tan(b))+tan(b)=sec(b)csc(b)