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beweisen 2cos^2(x/2)=(sin^2(x))/(1-cos(x))

Lösung

beweisen

2 cos^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{sin ^{2} ( x )}{1 - cos ( x )}

Wahr

Schritte zur Lösung

2 cos^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{sin ^{2} ( x )}{1 - cos ( x )}

Angenommen:

u = \frac{x}{2}

2 cos^{2} (u) = \frac{sin ^{2} ( 2 u )}{1 - cos ( 2 u )}

Beweise

2 cos^{2} (u) = \frac{sin ^{2} ( 2 u )}{1 - cos ( 2 u )} :

Wahr

2 cos^{2} (u) = \frac{sin ^{2} ( 2 u )}{1 - cos ( 2 u )}

Manipuliere die rechte Seite

\frac{sin ^{2} ( 2 u )}{1 - cos ( 2 u )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{sin ^{2} ( 2 u )}{1 - cos ( 2 u )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= \frac{1 - cos ^{2} ( 2 u )}{1 - cos ( 2 u )}

Vereinfache

\frac{1 - cos ^{2} ( 2 u )}{1 - cos ( 2 u )} : cos (2 u) + 1

\frac{1 - cos ^{2} ( 2 u )}{1 - cos ( 2 u )}

Faktorisiere

1 - cos^{2} (2 u) : - (cos (2 u) + 1) (cos (2 u) - 1)

1 - cos^{2} (2 u)

Klammere gleiche Terme aus

- 1

= - (cos^{2} (2 u) - 1)

Faktorisiere

cos^{2} (2 u) - 1 : (cos (2 u) + 1) (cos (2 u) - 1)

cos^{2} (2 u) - 1

Schreibe

1

um:

1^{2}

= cos^{2} (2 u) - 1^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

cos^{2} (2 u) - 1^{2} = (cos (2 u) + 1) (cos (2 u) - 1)

= (cos (2 u) + 1) (cos (2 u) - 1)

= - (cos (2 u) + 1) (cos (2 u) - 1)

= - \frac{( cos ( 2 u ) + 1 ) ( cos ( 2 u ) - 1 )}{1 - cos ( 2 u )}

Streiche

- \frac{( cos ( 2 u ) + 1 ) ( cos ( 2 u ) - 1 )}{1 - cos ( 2 u )} : cos (2 u) + 1

- \frac{( cos ( 2 u ) + 1 ) ( cos ( 2 u ) - 1 )}{1 - cos ( 2 u )}

- cos (2 u) + 1 = - (cos (2 u) - 1)

= - \frac{( cos ( 2 u ) + 1 ) ( cos ( 2 u ) - 1 )}{- ( cos ( 2 u ) - 1 )}

Fasse zusammen

= \frac{( cos ( 2 u ) + 1 ) ( cos ( 2 u ) - 1 )}{cos ( 2 u ) - 1}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (2 u) - 1

= cos (2 u) + 1

= cos (2 u) + 1

= cos (2 u) + 1

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 2 cos^{2} (u) - 1 + 1

Vereinfache

= 2 cos^{2} (u)

= 2 cos^{2} (u)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Deshalb

2 cos^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{sin ^{2} ( x )}{1 - cos ( x )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e sin (a) cos (a) = cos^{2} (a) tan (a)

p ro v e sin (- \frac{π}{4}) = - sin (\frac{π}{4})

p ro v e sin (z + w) = sin (z) cos (w) + cos (z) sin (w)

p ro v e tan^{2} (x) = \frac{( 1 - cos ( 2 x ) )}{1 + cos ( 2 x )}

p ro v e cos (0) tan (0) = sin (0)