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Popular Trigonometría >

verificar tan(A)=tan(A)csc^2(A)+cot(-A)

Solución

verificar

tan (A) = tan (A) csc^{2} (A) + cot (- A)

Solución

Verdadero

Pasos de solución

tan (A) = tan (A) csc^{2} (A) + cot (- A)

Manipular el lado derecho

tan (A)

Expresar con seno, coseno

tan (A)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( A )}{cos ( A )}

= \frac{sin ( A )}{cos ( A )}

Manipular el lado izquierdo

tan (A) csc^{2} (A) + cot (- A)

Utilizar la razón trigonométrica de ángulo negativo:

cot (- x) = - cot (x)

= - cot (A) + csc^{2} (A) tan (A)

Expresar con seno, coseno

- cot (A) + csc^{2} (A) tan (A)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= - \frac{cos ( A )}{sin ( A )} + csc^{2} (A) tan (A)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= - \frac{cos ( A )}{sin ( A )} + (\frac{1}{sin ( A )})^{2} tan (A)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= - \frac{cos ( A )}{sin ( A )} + (\frac{1}{sin ( A )})^{2} \frac{sin ( A )}{cos ( A )}

Simplificar

- \frac{cos ( A )}{sin ( A )} + (\frac{1}{sin ( A )})^{2} \frac{sin ( A )}{cos ( A )} : \frac{- cos ^{2} ( A ) + 1}{sin ( A ) cos ( A )}

- \frac{cos ( A )}{sin ( A )} + (\frac{1}{sin ( A )})^{2} \frac{sin ( A )}{cos ( A )}

(\frac{1}{sin ( A )})^{2} \frac{sin ( A )}{cos ( A )} = \frac{1}{sin ( A ) cos ( A )}

(\frac{1}{sin ( A )})^{2} \frac{sin ( A )}{cos ( A )}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( A ) ( \frac{1}{s i n ( A )} ) ^{2}}{cos ( A )}

(\frac{1}{sin ( A )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( A )}

(\frac{1}{sin ( A )})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( A )}

Aplicar la regla

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( A )}

= \frac{\frac{1}{s i n ^{2} ( A )} sin ( A )}{cos ( A )}

Multiplicar

sin (A) \frac{1}{sin ^{2} ( A )} : \frac{1}{sin ( A )}

sin (A) \frac{1}{sin ^{2} ( A )}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ( A )}{sin ^{2} ( A )}

Multiplicar:

1 \cdot sin (A) = sin (A)

= \frac{sin ( A )}{sin ^{2} ( A )}

Eliminar los terminos comunes:

sin (A)

= \frac{1}{sin ( A )}

= \frac{\frac{1}{s i n ( A )}}{cos ( A )}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{1}{sin ( A ) cos ( A )}

= - \frac{cos ( A )}{sin ( A )} + \frac{1}{sin ( A ) cos ( A )}

Mínimo común múltiplo de

sin (A), sin (A) cos (A) : sin (A) cos (A)

sin (A), sin (A) cos (A)

Mínimo común múltiplo (MCM)

Calcular una expresión que este compuesta de factores que aparezcan tanto en

sin (A)

sin (A) cos (A)

= sin (A) cos (A)

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{cos ( A )}{sin ( A )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

cos (A)

\frac{cos ( A )}{sin ( A )} = \frac{cos ( A ) cos ( A )}{sin ( A ) cos ( A )} = \frac{cos ^{2} ( A )}{sin ( A ) cos ( A )}

= - \frac{cos ^{2} ( A )}{sin ( A ) cos ( A )} + \frac{1}{sin ( A ) cos ( A )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- cos ^{2} ( A ) + 1}{sin ( A ) cos ( A )}

= \frac{- cos ^{2} ( A ) + 1}{sin ( A ) cos ( A )}

= \frac{1 - cos ^{2} ( A )}{cos ( A ) sin ( A )}

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- cot (A) + csc^{2} (A) tan (A)

Utilizar la identidad pitagórica:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= - cot (A) + csc^{2} (A) tan (A)

= - cot (A) + csc^{2} (A) tan (A)

Se demostró que ambos lados pueden tomar la misma forma

\Rightarrow Verdadero

Ejemplos populares

verificar 1/(1+sin(x))=(sec(x)-tan(x))sec(x)

verificar tan(a)+cot(a)= 2/(sin(2a))

verificar (1+sin(α))/(cos(α))=(cos(α))/(1-sin(α))

verificar 2csc^2(y)= 1/(1-cos(y))+1/(1+cos(y))

verificar cot(2x)=(cos(2x))/(sin(2x))