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beweisen (sec^2(a))/(2-sec^2(a))=sec(2a)

Lösung

beweisen

\frac{sec ^{2} ( a )}{2 - sec ^{2} ( a )} = sec (2 a)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{sec ^{2} ( a )}{2 - sec ^{2} ( a )} = sec (2 a)

Manipuliere die linke Seite

\frac{sec ^{2} ( a )}{2 - sec ^{2} ( a )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{sec ^{2} ( a )}{2 - sec ^{2} ( a )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{( \frac{1}{c o s ( a )} ) ^{2}}{2 - ( \frac{1}{c o s ( a )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{( \frac{1}{c o s ( a )} ) ^{2}}{2 - ( \frac{1}{c o s ( a )} ) ^{2}} : \frac{1}{2 cos ^{2} ( a ) - 1}

\frac{( \frac{1}{c o s ( a )} ) ^{2}}{2 - ( \frac{1}{c o s ( a )} ) ^{2}}

(\frac{1}{cos ( a )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( a )}

(\frac{1}{cos ( a )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( a )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( a )}

= \frac{( \frac{1}{c o s ( a )} ) ^{2}}{2 - \frac{1}{c o s ^{2} ( a )}}

(\frac{1}{cos ( a )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( a )}

(\frac{1}{cos ( a )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( a )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( a )}

= \frac{\frac{1}{c o s ^{2} ( a )}}{2 - \frac{1}{c o s ^{2} ( a )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{1}{cos ^{2} ( a ) ( 2 - \frac{1}{c o s ^{2} ( a )} )}

Füge

2 - \frac{1}{cos ^{2} ( a )}

zusammen:

\frac{2 cos ^{2} ( a ) - 1}{cos ^{2} ( a )}

2 - \frac{1}{cos ^{2} ( a )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

2 = \frac{2 cos ^{2} ( a )}{cos ^{2} ( a )}

= \frac{2 cos ^{2} ( a )}{cos ^{2} ( a )} - \frac{1}{cos ^{2} ( a )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 cos ^{2} ( a ) - 1}{cos ^{2} ( a )}

= \frac{1}{\frac{2 c o s ^{2} ( a ) - 1}{c o s ^{2} ( a )} cos ^{2} ( a )}

Multipliziere

cos^{2} (a) \frac{2 cos ^{2} ( a ) - 1}{cos ^{2} ( a )} : 2 cos^{2} (a) - 1

cos^{2} (a) \frac{2 cos ^{2} ( a ) - 1}{cos ^{2} ( a )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 2 cos ^{2} ( a ) - 1 ) cos ^{2} ( a )}{cos ^{2} ( a )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos^{2} (a)

= 2 cos^{2} (a) - 1

= \frac{1}{2 cos ^{2} ( a ) - 1}

= \frac{1}{2 cos ^{2} ( a ) - 1}

= \frac{1}{- 1 + 2 cos ^{2} ( a )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1}{- 1 + 2 cos ^{2} ( a )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

2 cos^{2} (x) - 1 = cos (2 x)

= \frac{1}{cos ( 2 a )}

= \frac{1}{cos ( 2 a )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( 2 a )}}

Vereinfache

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( 2 a )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sec ( 2 a )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= sec (2 a)

sec (2 a)

sec (2 a)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e cot (a) + tan (a) = csc (a) sec (a)

p ro v e sin (a + b) = sin (a) + sin (b)

p ro v e sin (12 0^{\circ}) = \frac{3}{2}

p ro v e sin (\frac{2 π}{3}) = sin (\frac{π}{3})

p ro v e cos (x) (csc^{2} (x)) = cot (x) csc (x)