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Beliebt Trigonometrie >

beweisen (sin(x))/(1-sin(x))+(sin(x))/(1+sin(x))=(2tan(x))/(cos(x))

Lösung

beweisen

\frac{sin ( x )}{1 - sin ( x )} + \frac{sin ( x )}{1 + sin ( x )} = \frac{2 tan ( x )}{cos ( x )}

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{sin ( x )}{1 - sin ( x )} + \frac{sin ( x )}{1 + sin ( x )} = \frac{2 tan ( x )}{cos ( x )}

Manipuliere die linke Seite

\frac{sin ( x )}{1 - sin ( x )} + \frac{sin ( x )}{1 + sin ( x )}

Vereinfache

\frac{sin ( x )}{1 + sin ( x )} + \frac{sin ( x )}{1 - sin ( x )} : \frac{2 sin ( x )}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

\frac{sin ( x )}{1 + sin ( x )} + \frac{sin ( x )}{1 - sin ( x )}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

1 + sin (x), 1 - sin (x) : (sin (x) + 1) (- sin (x) + 1)

1 + sin (x), 1 - sin (x)

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die entweder in

1 + sin (x)

oder

1 - sin (x)

auftauchen.

= (sin (x) + 1) (- sin (x) + 1)

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

(sin (x) + 1) (- sin (x) + 1)

Für

\frac{sin ( x )}{1 + sin ( x )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

- sin (x) + 1

\frac{sin ( x )}{1 + sin ( x )} = \frac{sin ( x ) ( - sin ( x ) + 1 )}{( 1 + sin ( x ) ) ( - sin ( x ) + 1 )}

Für

\frac{sin ( x )}{1 - sin ( x )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

sin (x) + 1

\frac{sin ( x )}{1 - sin ( x )} = \frac{sin ( x ) ( sin ( x ) + 1 )}{( 1 - sin ( x ) ) ( sin ( x ) + 1 )}

= \frac{sin ( x ) ( - sin ( x ) + 1 )}{( 1 + sin ( x ) ) ( - sin ( x ) + 1 )} + \frac{sin ( x ) ( sin ( x ) + 1 )}{( 1 - sin ( x ) ) ( sin ( x ) + 1 )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( x ) ( - sin ( x ) + 1 ) + sin ( x ) ( sin ( x ) + 1 )}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

Multipliziere aus

sin (x) (- sin (x) + 1) + sin (x) (sin (x) + 1) : 2 sin (x)

sin (x) (- sin (x) + 1) + sin (x) (sin (x) + 1)

Multipliziere aus

sin (x) (- sin (x) + 1) : - sin^{2} (x) + sin (x)

sin (x) (- sin (x) + 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b + c) = ab + a c

a = sin (x), b = - sin (x), c = 1

= sin (x) (- sin (x)) + sin (x) \cdot 1

Wende Minus-Plus Regeln an

+ (- a) = - a

= - sin (x) sin (x) + 1 \cdot sin (x)

Vereinfache

- sin (x) sin (x) + 1 \cdot sin (x) : - sin^{2} (x) + sin (x)

- sin (x) sin (x) + 1 \cdot sin (x)

sin (x) sin (x) = sin^{2} (x)

sin (x) sin (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= sin^{1 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (x)

1 \cdot sin (x) = sin (x)

1 \cdot sin (x)

Multipliziere:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= sin (x)

= - sin^{2} (x) + sin (x)

= - sin^{2} (x) + sin (x)

= - sin^{2} (x) + sin (x) + sin (x) (sin (x) + 1)

Multipliziere aus

sin (x) (sin (x) + 1) : sin^{2} (x) + sin (x)

sin (x) (sin (x) + 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b + c) = ab + a c

a = sin (x), b = sin (x), c = 1

= sin (x) sin (x) + sin (x) \cdot 1

= sin (x) sin (x) + 1 \cdot sin (x)

Vereinfache

sin (x) sin (x) + 1 \cdot sin (x) : sin^{2} (x) + sin (x)

sin (x) sin (x) + 1 \cdot sin (x)

sin (x) sin (x) = sin^{2} (x)

sin (x) sin (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= sin^{1 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (x)

1 \cdot sin (x) = sin (x)

1 \cdot sin (x)

Multipliziere:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= sin (x)

= sin^{2} (x) + sin (x)

= sin^{2} (x) + sin (x)

= - sin^{2} (x) + sin (x) + sin^{2} (x) + sin (x)

Vereinfache

- sin^{2} (x) + sin (x) + sin^{2} (x) + sin (x) : 2 sin (x)

- sin^{2} (x) + sin (x) + sin^{2} (x) + sin (x)

Addiere gleiche Elemente:

- sin^{2} (x) + sin^{2} (x) = 0

= sin (x) + sin (x)

Addiere gleiche Elemente:

sin (x) + sin (x) = 2 sin (x)

= 2 sin (x)

= 2 sin (x)

= \frac{2 sin ( x )}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

= \frac{2 sin ( x )}{( 1 + sin ( x ) ) ( 1 - sin ( x ) )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{2 sin ( x )}{( 1 + sin ( x ) ) ( 1 - sin ( x ) )}

Multipliziere aus

(1 + sin (x)) (1 - sin (x)) : 1 - sin^{2} (x)

(1 + sin (x)) (1 - sin (x))

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 1, b = sin (x)

= 1^{2} - sin^{2} (x)

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - sin^{2} (x)

= \frac{2 sin ( x )}{1 - sin ^{2} ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{2 sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{2 sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{2}{cos ( x )} \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

\frac{2 tan ( x )}{cos ( x )}

\frac{2 tan ( x )}{cos ( x )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen (2cos(x))/(cos^2(x))=2sec(x)

p ro v e \frac{2 cos ( x )}{cos ^{2} ( x )} = 2 sec (x)

beweisen cos(x+pi)+sin(x-(3pi)/2)=0

p ro v e cos (x + π) + sin (x - \frac{3 π}{2}) = 0

beweisen cos^4(A)-sin^4(A)+1=2cos^2(A)

p ro v e cos^{4} (A) - sin^{4} (A) + 1 = 2 cos^{2} (A)

beweisen 1-tan^4(θ)=2sec^2(θ)-sec^4(θ)

p ro v e 1 - tan^{4} (θ) = 2 sec^{2} (θ) - sec^{4} (θ)

beweisen 7sec(y)cos(y)=7

p ro v e 7 sec (y) cos (y) = 7