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人気のある三角関数 >

証明する sec^4(θ)-tan^4(θ)=2tan^2(θ)+1

解

証明する

sec^{4} (θ) - tan^{4} (θ) = 2 tan^{2} (θ) + 1

解

真

解答ステップ

sec^{4} (θ) - tan^{4} (θ) = 2 tan^{2} (θ) + 1

左側を操作する

sec^{4} (θ) - tan^{4} (θ)

因数

sec^{4} (θ) - tan^{4} (θ) : (sec^{2} (θ) + tan^{2} (θ)) (sec (θ) + tan (θ)) (sec (θ) - tan (θ))

sec^{4} (θ) - tan^{4} (θ)

sec^{4} (θ) - tan^{4} (θ)

を書き換え

(sec^{2} (θ))^{2} - (tan^{2} (θ))^{2}

sec^{4} (θ) - tan^{4} (θ)

指数の規則を適用する:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

sec^{4} (θ) = (sec^{2} (θ))^{2}

= (sec^{2} (θ))^{2} - tan^{4} (θ)

指数の規則を適用する:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

tan^{4} (θ) = (tan^{2} (θ))^{2}

= (sec^{2} (θ))^{2} - (tan^{2} (θ))^{2}

= (sec^{2} (θ))^{2} - (tan^{2} (θ))^{2}

2乗の差の公式を適用する:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(sec^{2} (θ))^{2} - (tan^{2} (θ))^{2} = (sec^{2} (θ) + tan^{2} (θ)) (sec^{2} (θ) - tan^{2} (θ))

= (sec^{2} (θ) + tan^{2} (θ)) (sec^{2} (θ) - tan^{2} (θ))

因数

sec^{2} (θ) - tan^{2} (θ) : (sec (θ) + tan (θ)) (sec (θ) - tan (θ))

sec^{2} (θ) - tan^{2} (θ)

2乗の差の公式を適用する:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

sec^{2} (θ) - tan^{2} (θ) = (sec (θ) + tan (θ)) (sec (θ) - tan (θ))

= (sec (θ) + tan (θ)) (sec (θ) - tan (θ))

= (sec^{2} (θ) + tan^{2} (θ)) (sec (θ) + tan (θ)) (sec (θ) - tan (θ))

= (sec (θ) + tan (θ)) (sec (θ) - tan (θ)) (sec^{2} (θ) + tan^{2} (θ))

三角関数の公式を使用して書き換える

(sec (θ) + tan (θ)) (sec (θ) - tan (θ)) (sec^{2} (θ) + tan^{2} (θ))

ピタゴラスの公式を使用する:

sec^{2} (x) = tan^{2} (x) + 1

= (sec (θ) + tan (θ)) (sec (θ) - tan (θ)) (tan^{2} (θ) + 1 + tan^{2} (θ))

簡素化

tan^{2} (θ) + 1 + tan^{2} (θ) : 2 tan^{2} (θ) + 1

tan^{2} (θ) + 1 + tan^{2} (θ)

条件のようなグループ

= tan^{2} (θ) + tan^{2} (θ) + 1

類似した元を足す:

tan^{2} (θ) + tan^{2} (θ) = 2 tan^{2} (θ)

= 2 tan^{2} (θ) + 1

= (sec (θ) + tan (θ)) (sec (θ) - tan (θ)) (2 tan^{2} (θ) + 1)

拡張

(sec (θ) + tan (θ)) (sec (θ) - tan (θ)) : sec^{2} (θ) - tan^{2} (θ)

(sec (θ) + tan (θ)) (sec (θ) - tan (θ))

2乗の差の公式を適用する:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = sec (θ), b = tan (θ)

= sec^{2} (θ) - tan^{2} (θ)

= (sec^{2} (θ) - tan^{2} (θ)) (2 tan^{2} (θ) + 1)

ピタゴラスの公式を使用する:

sec^{2} (θ) = tan^{2} (θ) + 1

sec^{2} (θ) - tan^{2} (θ) = 1

= 1 \cdot (2 tan^{2} (θ) + 1)

簡素化

= 2 tan^{2} (θ) + 1

= 2 tan^{2} (θ) + 1

両辺を同じ形式にできることを証明した

\Rightarrow 真

人気の例

証明する cos(-pi/4)=sin(pi/4)

p ro v e cos (- \frac{π}{4}) = sin (\frac{π}{4})

証明する sin(u)cos(u)= 1/2 sin(2u)

p ro v e sin (u) cos (u) = \frac{1}{2} sin (2 u)

証明する tan(2x)cos(2x)=sin(2x)

p ro v e tan (2 x) cos (2 x) = sin (2 x)

証明する tan(x)=2sin(x)

p ro v e tan (x) = 2 sin (x)

証明する (1-sin^4(a))/(cos^2(a))=2-cos^2(a)

p ro v e \frac{1 - sin ^{4} ( a )}{cos ^{2} ( a )} = 2 - cos^{2} (a)