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Popular Trigonometría >

verificar tan(A+B)+tan(A-B)=((2sin(2A)))/((cos(2A)+cos(2B)))

Solución

verificar

tan (A + B) + tan (A - B) = \frac{( 2 sin ( 2 A ) )}{( cos ( 2 A ) + cos ( 2 B ) )}

Solución

Verdadero

Pasos de solución

tan (A + B) + tan (A - B) = \frac{2 sin ( 2 A )}{cos ( 2 A ) + cos ( 2 B )}

Manipular el lado derecho

tan (A + B) + tan (A - B)

Expresar con seno, coseno

tan (A + B) + tan (A - B)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( A + B )}{cos ( A + B )} + tan (A - B)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( A + B )}{cos ( A + B )} + \frac{sin ( A - B )}{cos ( A - B )}

Simplificar

\frac{sin ( A + B )}{cos ( A + B )} + \frac{sin ( A - B )}{cos ( A - B )} : \frac{sin ( A + B ) cos ( A - B ) + sin ( A - B ) cos ( A + B )}{cos ( A + B ) cos ( A - B )}

\frac{sin ( A + B )}{cos ( A + B )} + \frac{sin ( A - B )}{cos ( A - B )}

Mínimo común múltiplo de

cos (A + B), cos (A - B) : cos (A + B) cos (A - B)

cos (A + B), cos (A - B)

Mínimo común múltiplo (MCM)

Calcular una expresión que este compuesta de factores que aparezcan tanto en

cos (A + B)

cos (A - B)

= cos (A + B) cos (A - B)

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{sin ( A + B )}{cos ( A + B )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

cos (A - B)

\frac{sin ( A + B )}{cos ( A + B )} = \frac{sin ( A + B ) cos ( A - B )}{cos ( A + B ) cos ( A - B )}

Para

\frac{sin ( A - B )}{cos ( A - B )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

cos (A + B)

\frac{sin ( A - B )}{cos ( A - B )} = \frac{sin ( A - B ) cos ( A + B )}{cos ( A - B ) cos ( A + B )}

= \frac{sin ( A + B ) cos ( A - B )}{cos ( A + B ) cos ( A - B )} + \frac{sin ( A - B ) cos ( A + B )}{cos ( A - B ) cos ( A + B )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( A + B ) cos ( A - B ) + sin ( A - B ) cos ( A + B )}{cos ( A + B ) cos ( A - B )}

= \frac{sin ( A + B ) cos ( A - B ) + sin ( A - B ) cos ( A + B )}{cos ( A + B ) cos ( A - B )}

= \frac{cos ( A + B ) sin ( A - B ) + cos ( A - B ) sin ( A + B )}{cos ( A + B ) cos ( A - B )}

Re-escribir usando identidades trigonométricas

\frac{cos ( A + B ) sin ( A - B ) + cos ( A - B ) sin ( A + B )}{cos ( A + B ) cos ( A - B )}

Utilizar la identidad producto-suma:

cos (s) cos (t) = \frac{1}{2} (cos (s - t) + cos (s + t))

= \frac{cos ( A + B ) sin ( A - B ) + cos ( A - B ) sin ( A + B )}{\frac{1}{2} ( cos ( A + B - ( A - B ) ) + cos ( A + B + A - B ) )}

Simplificar

\frac{cos ( A + B ) sin ( A - B ) + cos ( A - B ) sin ( A + B )}{\frac{1}{2} ( cos ( A + B - ( A - B ) ) + cos ( A + B + A - B ) )} : \frac{2 ( cos ( A + B ) sin ( A - B ) + cos ( A - B ) sin ( A + B ) )}{cos ( 2 B ) + cos ( 2 A )}

\frac{cos ( A + B ) sin ( A - B ) + cos ( A - B ) sin ( A + B )}{\frac{1}{2} ( cos ( A + B - ( A - B ) ) + cos ( A + B + A - B ) )}

Simplificar

A + B + A - B : 2 A

A + B + A - B

Agrupar términos semejantes

= A + A + B - B

Sumar elementos similares:

A + A = 2 A

= 2 A + B - B

Sumar elementos similares:

B - B = 0

= 2 A

= \frac{cos ( A + B ) sin ( A - B ) + cos ( A - B ) sin ( A + B )}{\frac{1}{2} ( cos ( A + B - ( A - B ) ) + cos ( 2 A ) )}

Multiplicar

\frac{1}{2} (cos (A + B - (A - B)) + cos (2 A)) : \frac{cos ( 2 B ) + cos ( 2 A )}{2}

\frac{1}{2} (cos (A + B - (A - B)) + cos (2 A))

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot ( cos ( A + B - ( A - B ) ) + cos ( 2 A ) )}{2}

1 \cdot (cos (A + B - (A - B)) + cos (2 A)) = cos (A + B - (A - B)) + cos (2 A)

1 \cdot (cos (A + B - (A - B)) + cos (2 A))

Multiplicar:

1 \cdot (cos (A + B - (A - B)) + cos (2 A)) = (cos (A + B - (A - B)) + cos (2 A))

= (cos (A + B - (A - B)) + cos (2 A))

Quitar los parentesis:

(a) = a

= cos (A + B - (A - B)) + cos (2 A)

= \frac{cos ( A + B - ( A - B ) ) + cos ( 2 A )}{2}

Expandir

A + B - (A - B) : 2 B

A + B - (A - B)

- (A - B) : - A + B

- (A - B)

Poner los parentesis

= - (A) - (- B)

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a, - (a) = - a

= - A + B

= A + B - A + B

Simplificar

A + B - A + B : 2 B

A + B - A + B

Agrupar términos semejantes

= A - A + B + B

Sumar elementos similares:

A - A = 0

= B + B

Sumar elementos similares:

B + B = 2 B

= 2 B

= 2 B

= \frac{cos ( 2 B ) + cos ( 2 A )}{2}

= \frac{cos ( A + B ) sin ( A - B ) + cos ( A - B ) sin ( A + B )}{\frac{c o s ( 2 B ) + c o s ( 2 A )}{2}}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( cos ( A + B ) sin ( A - B ) + cos ( A - B ) sin ( A + B ) ) \cdot 2}{cos ( 2 B ) + cos ( 2 A )}

= \frac{2 ( cos ( A + B ) sin ( A - B ) + cos ( A - B ) sin ( A + B ) )}{cos ( 2 B ) + cos ( 2 A )}

= \frac{2 ( cos ( A + B ) sin ( A - B ) + cos ( A - B ) sin ( A + B ) )}{cos ( 2 B ) + cos ( 2 A )}

Reescribir como

= sin (A + B) cos (A - B) + cos (A + B) sin (A - B)

Re-escribir usando identidades trigonométricas

sin (A + B) cos (A - B) + cos (A + B) sin (A - B)

Utilizar la identidad de suma de ángulos:

sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t) = sin (s + t)

= \frac{2 sin ( A + B + A - B )}{cos ( 2 B ) + cos ( 2 A )}

Simplificar

A + B + A - B : 2 A

A + B + A - B

Agrupar términos semejantes

= A + A + B - B

Sumar elementos similares:

A + A = 2 A

= 2 A + B - B

Sumar elementos similares:

B - B = 0

= 2 A

= \frac{2 sin ( 2 A )}{cos ( 2 B ) + cos ( 2 A )}

= \frac{2 sin ( 2 A )}{cos ( 2 B ) + cos ( 2 A )}

= \frac{2 sin ( 2 A )}{cos ( 2 A ) + cos ( 2 B )}

Se demostró que ambos lados pueden tomar la misma forma

\Rightarrow Verdadero

Ejemplos populares

verificar cos(3θ)=4cos^3(θ)-cos(θ)

verificar (1+csc(b))/(cot(b)+cos(b))=sec(b)

verificar (1+tan^2(θ))/(tan(θ))=sec(θ)csc(θ)

verificar sin(4a)=2sin(2a)cos(2a)

verificar sin(2D)=2cot(D)sin^2(D)