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Popular Trigonometría >

4sin(x)-3cos(x)=5

Solución

4 sin (x) - 3 cos (x) = 5

Solución

x = 2.21429 \dots + 2 πn

Grados

x = 126.86989 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

4 sin (x) - 3 cos (x) = 5

Sumar

3 cos (x)

a ambos lados

4 sin (x) = 5 + 3 cos (x)

Elevar al cuadrado ambos lados

(4 sin (x))^{2} = (5 + 3 cos (x))^{2}

Restar

(5 + 3 cos (x))^{2}

de ambos lados

16 sin^{2} (x) - 25 - 30 cos (x) - 9 cos^{2} (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 25 + 16 sin^{2} (x) - 30 cos (x) - 9 cos^{2} (x)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 25 + 16 (1 - cos^{2} (x)) - 30 cos (x) - 9 cos^{2} (x)

Simplificar

- 25 + 16 (1 - cos^{2} (x)) - 30 cos (x) - 9 cos^{2} (x) : - 25 cos^{2} (x) - 30 cos (x) - 9

- 25 + 16 (1 - cos^{2} (x)) - 30 cos (x) - 9 cos^{2} (x)

Expandir

16 (1 - cos^{2} (x)) : 16 - 16 cos^{2} (x)

16 (1 - cos^{2} (x))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 16, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 16 \cdot 1 - 16 cos^{2} (x)

Multiplicar los numeros:

16 \cdot 1 = 16

= 16 - 16 cos^{2} (x)

= - 25 + 16 - 16 cos^{2} (x) - 30 cos (x) - 9 cos^{2} (x)

Simplificar

- 25 + 16 - 16 cos^{2} (x) - 30 cos (x) - 9 cos^{2} (x) : - 25 cos^{2} (x) - 30 cos (x) - 9

- 25 + 16 - 16 cos^{2} (x) - 30 cos (x) - 9 cos^{2} (x)

Agrupar términos semejantes

= - 16 cos^{2} (x) - 30 cos (x) - 9 cos^{2} (x) - 25 + 16

Sumar elementos similares:

- 16 cos^{2} (x) - 9 cos^{2} (x) = - 25 cos^{2} (x)

= - 25 cos^{2} (x) - 30 cos (x) - 25 + 16

Sumar/restar lo siguiente:

- 25 + 16 = - 9

= - 25 cos^{2} (x) - 30 cos (x) - 9

= - 25 cos^{2} (x) - 30 cos (x) - 9

= - 25 cos^{2} (x) - 30 cos (x) - 9

- 9 - 25 cos^{2} (x) - 30 cos (x) = 0

Usando el método de sustitución

- 9 - 25 cos^{2} (x) - 30 cos (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

- 9 - 25 u^{2} - 30 u = 0

- 9 - 25 u^{2} - 30 u = 0 : u = - \frac{3}{5}

- 9 - 25 u^{2} - 30 u = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- 25 u^{2} - 30 u - 9 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 25 u^{2} - 30 u - 9 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 25, b = - 30, c = - 9

u_{1, 2} = \frac{- ( - 30 ) \pm ( - 30 ) ^{2} - 4 ( - 25 ) ( - 9 )}{2 ( - 25 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 30 ) \pm ( - 30 ) ^{2} - 4 ( - 25 ) ( - 9 )}{2 ( - 25 )}

(- 30)^{2} - 4 (- 25) (- 9) = 0

(- 30)^{2} - 4 (- 25) (- 9)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 30)^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 9

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 30)^{2} = 3 0^{2}

= 3 0^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 9

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 25 \cdot 9 = 900

= 3 0^{2} - 900

3 0^{2} = 900

= 900 - 900

Restar:

900 - 900 = 0

= 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 30 ) \pm 0}{2 ( - 25 )}

u = \frac{- ( - 30 )}{2 ( - 25 )}

\frac{- ( - 30 )}{2 ( - 25 )} = - \frac{3}{5}

\frac{- ( - 30 )}{2 ( - 25 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{30}{- 2 \cdot 25}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 25 = 50

= \frac{30}{- 50}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{30}{50}

Eliminar los terminos comunes:

10

= - \frac{3}{5}

u = - \frac{3}{5}

La solución a la ecuación de segundo grado es:

u = - \frac{3}{5}

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{3}{5}

cos (x) = - \frac{3}{5}

cos (x) = - \frac{3}{5} : x = arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{3}{5}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (x) = - \frac{3}{5}

Soluciones generales para

cos (x) = - \frac{3}{5}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

4 sin (x) - 3 cos (x) = 5

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn :

Verdadero

arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

arccos (- \frac{3}{5}) + 2 π 1

Multiplicar

4 sin (x) - 3 cos (x) = 5

por

x = arccos (- \frac{3}{5}) + 2 π 1

4 sin (arccos (- \frac{3}{5}) + 2 π 1) - 3 cos (arccos (- \frac{3}{5}) + 2 π 1) = 5

Simplificar

5 = 5

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

- arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn :

Falso

- arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

- arccos (- \frac{3}{5}) + 2 π 1

Multiplicar

4 sin (x) - 3 cos (x) = 5

por

x = - arccos (- \frac{3}{5}) + 2 π 1

4 sin (- arccos (- \frac{3}{5}) + 2 π 1) - 3 cos (- arccos (- \frac{3}{5}) + 2 π 1) = 5

Simplificar

- 1.4 = 5

\Rightarrow Falso

x = arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = 2.21429 \dots + 2 πn

Gráfica

Ejemplos populares

solvefor x,3sin^2(x)=cos^2(x)