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Beliebt Trigonometrie >

cos((3pi)/(10))

Lösung

cos (\frac{3 π}{10})

Lösung

\frac{2 5 - 5}{4}

Dezimale

0.58778 \dots

Schritte zur Lösung

cos (\frac{3 π}{10})

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

sin (\frac{π}{5})

cos (\frac{3 π}{10})

Verwende die folgenden Identitäten:

cos (x) = sin (\frac{π}{2} - x)

= sin (\frac{π}{2} - \frac{3 π}{10})

Vereinfache:

\frac{π}{2} - \frac{3 π}{10} = \frac{π}{5}

\frac{π}{2} - \frac{3 π}{10}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

2, 10 : 10

2, 10

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

2 : 2

2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 2

Primfaktorzerlegung von

10 : 2 \cdot 5

10

10

ist durch

210 = 5 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 5

2, 5

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 5

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

2

oder

10

vorkommt

= 2 \cdot 5

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 5 = 10

= 10

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

10

Für

\frac{π}{2} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

5

\frac{π}{2} = \frac{π 5}{2 \cdot 5} = \frac{π 5}{10}

= \frac{π 5}{10} - \frac{3 π}{10}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 5 - 3 π}{10}

Addiere gleiche Elemente:

5 π - 3 π = 2 π

= \frac{2 π}{10}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{π}{5}

= sin (\frac{π}{5})

= sin (\frac{π}{5})

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

\frac{2 5 - 5}{4}

sin (\frac{π}{5})

Zeige dass:

cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10}) = \frac{1}{2}

Verwende das folgende Produkt, um die Summe der Identitäten zu finden:

2 sin (x) cos (y) = sin (x + y) - sin (x - y)

2 cos (\frac{π}{5}) sin (\frac{π}{10}) = sin (\frac{3 π}{10}) - sin (\frac{π}{10})

Zeige dass:

2 cos (\frac{π}{5}) sin (\frac{π}{10}) = \frac{1}{2}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

sin (\frac{2 π}{5}) = 2 sin (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{5})

sin (\frac{2 π}{5}) sin (\frac{π}{5}) = 4 sin (\frac{π}{5}) sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{10})

Teile beide Seiten durch

sin (\frac{π}{5})

sin (\frac{2 π}{5}) = 4 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{10})

Verwende die folgenden Identitäten:

sin (x) = cos (\frac{π}{2} - x)

sin (\frac{2 π}{5}) = cos (\frac{π}{2} - \frac{2 π}{5})

cos (\frac{π}{2} - \frac{2 π}{5}) = 4 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{10})

cos (\frac{π}{10}) = 4 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{10})

Teile beide Seiten durch

cos (\frac{π}{10})

1 = 4 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5})

Teile beide Seiten durch

2

\frac{1}{2} = 2 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5})

Ersetze

\frac{1}{2} = 2 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5})

\frac{1}{2} = sin (\frac{3 π}{10}) - sin (\frac{π}{10})

sin (\frac{3 π}{10}) = cos (\frac{π}{2} - \frac{3 π}{10})

\frac{1}{2} = cos (\frac{π}{2} - \frac{3 π}{10}) - sin (\frac{π}{10})

\frac{1}{2} = cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10})

Zeige dass:

cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}) = \frac{5}{4}

Wende die Faktorisierungsregel an:

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

a = cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10})

(cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}))^{2} - (cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10}))^{2} = ((cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10})) + (cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10}))) ((cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10})) - (cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10})))

Fasse zusammen

(cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}))^{2} - (cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10}))^{2} = 2 (2 cos (\frac{π}{5}) sin (\frac{π}{10}))

Zeige dass:

2 cos (\frac{π}{5}) sin (\frac{π}{10}) = \frac{1}{2}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

sin (\frac{2 π}{5}) = 2 sin (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{5})

sin (\frac{2 π}{5}) sin (\frac{π}{5}) = 4 sin (\frac{π}{5}) sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{10})

Teile beide Seiten durch

sin (\frac{π}{5})

sin (\frac{2 π}{5}) = 4 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{10})

Verwende die folgenden Identitäten:

sin (x) = cos (\frac{π}{2} - x)

sin (\frac{2 π}{5}) = cos (\frac{π}{2} - \frac{2 π}{5})

cos (\frac{π}{2} - \frac{2 π}{5}) = 4 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{10})

cos (\frac{π}{10}) = 4 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{10})

Teile beide Seiten durch

cos (\frac{π}{10})

1 = 4 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5})

Teile beide Seiten durch

2

\frac{1}{2} = 2 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5})

Ersetze

2 cos (\frac{π}{5}) sin (\frac{π}{10}) = \frac{1}{2}

(cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}))^{2} - (cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10}))^{2} = 1

Ersetze

cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10}) = \frac{1}{2}

(cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}))^{2} - (\frac{1}{2})^{2} = 1

Fasse zusammen

(cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}))^{2} - \frac{1}{4} = 1

Füge

\frac{1}{4}

zu beiden Seiten hinzu

(cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}))^{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 1 + \frac{1}{4}

Fasse zusammen

(cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}))^{2} = \frac{5}{4}

Ziehe die Quadratwurzel auf beiden Seiten

cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}) = \pm \frac{5}{4}

cos (\frac{π}{5})

darf nicht negativ sein

sin (\frac{π}{10})

darf nicht negativ sein

cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}) = \frac{5}{4}

Füge die folgenden Gleichungen hinzu

cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}) = \frac{5}{2}

((cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10})) + (cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10}))) = (\frac{5}{2} + \frac{1}{2})

Fasse zusammen

cos (\frac{π}{5}) = \frac{5 + 1}{4}

Quadriere beide Seiten

(cos (\frac{π}{5}))^{2} = (\frac{5 + 1}{4})^{2}

Verwende die folgenden Identitäten:

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

sin^{2} (\frac{π}{5}) = 1 - cos^{2} (\frac{π}{5})

Ersetze

cos (\frac{π}{5}) = \frac{5 + 1}{4}

sin^{2} (\frac{π}{5}) = 1 - (\frac{5 + 1}{4})^{2}

Fasse zusammen

sin^{2} (\frac{π}{5}) = \frac{5 - 5}{8}

Ziehe die Quadratwurzel auf beiden Seiten

sin (\frac{π}{5}) = \pm \frac{5 - 5}{8}

sin (\frac{π}{5})

darf nicht negativ sein

sin (\frac{π}{5}) = \frac{5 - 5}{8}

Fasse zusammen

sin (\frac{π}{5}) = \frac{\frac{5 - 5}{2}}{2}

= \frac{\frac{5 - 5}{2}}{2}

\frac{\frac{5 - 5}{2}}{2} = \frac{2 5 - 5}{4}

\frac{\frac{5 - 5}{2}}{2}

\frac{5 - 5}{2} = \frac{5 - 5}{2}

\frac{5 - 5}{2}

Wende Radikal Regel an:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{5 - 5}{2}

= \frac{\frac{5 - 5}{2}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{5 - 5}{2 \cdot 2}

Rationalisiere

\frac{5 - 5}{2 2} : \frac{2 5 - 5}{4}

\frac{5 - 5}{2 2}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{2}{2}

= \frac{5 - 5 2}{2 \cdot 2 2}

2 \cdot 22 = 4

2 \cdot 22

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

222 = 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

= 2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

Addiere gleiche Elemente:

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{1}{2}

= 2^{1 + 2 \cdot \frac{1}{2}}

2 \cdot \frac{1}{2} = 1

2 \cdot \frac{1}{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 2^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= 2^{2}

2^{2} = 4

= 4

= \frac{2 5 - 5}{4}

= \frac{2 5 - 5}{4}

= \frac{2 5 - 5}{4}

= \frac{2 5 - 5}{4}

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