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dimostrare 2sin^3(x)cos(x)+2sin(x)cos^3(x)=sin(2x)

Soluzione

dimostrare

2 sin^{3} (x) cos (x) + 2 sin (x) cos^{3} (x) = sin (2 x)

Vero

Fasi della soluzione

2 sin^{3} (x) cos (x) + 2 sin (x) cos^{3} (x) = sin (2 x)

Manipolando il lato sinistro

2 sin^{3} (x) cos (x) + 2 sin (x) cos^{3} (x)

Fattorizza

2 cos (x) sin^{3} (x) + 2 cos^{3} (x) sin (x) : 2 sin (x) cos (x) (sin^{2} (x) + cos^{2} (x))

2 cos (x) sin^{3} (x) + 2 cos^{3} (x) sin (x)

Applica la regola degli esponenti:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

sin^{3} (x) = sin (x) sin^{2} (x), cos^{3} (x) = cos (x) cos^{2} (x)

= 2 cos (x) sin (x) sin^{2} (x) + 2 cos (x) cos^{2} (x) sin (x)

Riscrivi come

= 2 sin (x) cos (x) sin^{2} (x) + 2 sin (x) cos (x) cos^{2} (x)

Fattorizzare dal termine comune

2 sin (x) cos (x)

= 2 sin (x) cos (x) (sin^{2} (x) + cos^{2} (x))

= (cos^{2} (x) + sin^{2} (x)) \cdot 2 cos (x) sin (x)

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

(cos^{2} (x) + sin^{2} (x)) \cdot 2 cos (x) sin (x)

Usare l'Identità Doppio Angolo:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

= sin (2 x) (cos^{2} (x) + sin^{2} (x))

Usa l'identità pitagorica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= sin (2 x) \cdot 1

Semplificare

= sin (2 x)

= sin (2 x)

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

p ro v e tan^{2} (α) (1 - sin^{2} (α)) = sin^{2} (α)

p ro v e sin (x) = tan (x) cos (x)

p ro v e tan (2 x) = 2 sin (x) cos (x) sec (2 x)

p ro v e tan (x) csc (x) = \frac{1}{cos ( x )}

p ro v e cos (18 0^{\circ} - θ) = - cos (θ)