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beweisen sec^4(θ)=sec^2(θ)tan^2(θ)+sec^2(θ)

Lösung

beweisen

sec^{4} (θ) = sec^{2} (θ) tan^{2} (θ) + sec^{2} (θ)

Wahr

Schritte zur Lösung

sec^{4} (θ) = sec^{2} (θ) tan^{2} (θ) + sec^{2} (θ)

Manipuliere die rechte Seite

sec^{2} (θ) tan^{2} (θ) + sec^{2} (θ)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sec^{2} (θ) tan^{2} (θ) + sec^{2} (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

tan^{2} (x) + 1 = sec^{2} (x)

tan^{2} (x) = sec^{2} (x) - 1

= sec^{2} (θ) (sec^{2} (θ) - 1) + sec^{2} (θ)

Vereinfache

sec^{2} (θ) (sec^{2} (θ) - 1) + sec^{2} (θ) : sec^{4} (θ)

sec^{2} (θ) (sec^{2} (θ) - 1) + sec^{2} (θ)

Multipliziere aus

sec^{2} (θ) (sec^{2} (θ) - 1) : sec^{4} (θ) - sec^{2} (θ)

sec^{2} (θ) (sec^{2} (θ) - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = sec^{2} (θ), b = sec^{2} (θ), c = 1

= sec^{2} (θ) sec^{2} (θ) - sec^{2} (θ) \cdot 1

= sec^{2} (θ) sec^{2} (θ) - 1 \cdot sec^{2} (θ)

Vereinfache

sec^{2} (θ) sec^{2} (θ) - 1 \cdot sec^{2} (θ) : sec^{4} (θ) - sec^{2} (θ)

sec^{2} (θ) sec^{2} (θ) - 1 \cdot sec^{2} (θ)

sec^{2} (θ) sec^{2} (θ) = sec^{4} (θ)

sec^{2} (θ) sec^{2} (θ)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sec^{2} (θ) sec^{2} (θ) = sec^{2 + 2} (θ)

= sec^{2 + 2} (θ)

Addiere die Zahlen:

2 + 2 = 4

= sec^{4} (θ)

1 \cdot sec^{2} (θ) = sec^{2} (θ)

1 \cdot sec^{2} (θ)

Multipliziere:

1 \cdot sec^{2} (θ) = sec^{2} (θ)

= sec^{2} (θ)

= sec^{4} (θ) - sec^{2} (θ)

= sec^{4} (θ) - sec^{2} (θ)

= sec^{4} (θ) - sec^{2} (θ) + sec^{2} (θ)

Addiere gleiche Elemente:

- sec^{2} (θ) + sec^{2} (θ) = 0

= sec^{4} (θ)

= sec^{4} (θ)

= sec^{4} (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e sin^{2} (θ) = 1 - \frac{1}{sec ^{2} ( θ )}

p ro v e tan (θ) sec (θ) csc (θ) = 1 + tan^{2} (θ)

p ro v e \frac{1 - cos ( x )}{\frac{1}{c o s ( x )} - 1} = cos (x)

p ro v e sin (π - 0) = sin (0)

p ro v e csc^{2} (x) + 1 = cot^{2} (x) + 2