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beweisen (sec^2(θ)-1)/(sin^2(θ))=sec^2(θ)

Lösung

beweisen

\frac{sec ^{2} ( θ ) - 1}{sin ^{2} ( θ )} = sec^{2} (θ)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{sec ^{2} ( θ ) - 1}{sin ^{2} ( θ )} = sec^{2} (θ)

Manipuliere die linke Seite

\frac{sec ^{2} ( θ ) - 1}{sin ^{2} ( θ )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{- 1 + sec ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{- 1 + ( \frac{1}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{sin ^{2} ( θ )}

Vereinfache

\frac{- 1 + ( \frac{1}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{sin ^{2} ( θ )} : \frac{- cos ^{2} ( θ ) + 1}{cos ^{2} ( θ ) sin ^{2} ( θ )}

\frac{- 1 + ( \frac{1}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{sin ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( θ )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{- 1 + \frac{1}{c o s ^{2} ( θ )}}{sin ^{2} ( θ )}

Füge

- 1 + \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

zusammen:

\frac{- cos ^{2} ( θ ) + 1}{cos ^{2} ( θ )}

- 1 + \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= - \frac{1 \cdot cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} + \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot cos ^{2} ( θ ) + 1}{cos ^{2} ( θ )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (θ) = cos^{2} (θ)

= \frac{- cos ^{2} ( θ ) + 1}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{\frac{- c o s ^{2} ( θ ) + 1}{c o s ^{2} ( θ )}}{sin ^{2} ( θ )}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{- cos ^{2} ( θ ) + 1}{cos ^{2} ( θ ) sin ^{2} ( θ )}

= \frac{- cos ^{2} ( θ ) + 1}{cos ^{2} ( θ ) sin ^{2} ( θ )}

= \frac{1 - cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ ) sin ^{2} ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1 - cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ ) sin ^{2} ( θ )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ ) sin ^{2} ( θ )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin^{2} (θ)

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{1}{( \frac{1}{s e c ( θ )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{1}{( \frac{1}{s e c ( θ )} ) ^{2}}

(\frac{1}{sec ( θ )})^{2} = \frac{1}{sec ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{sec ( θ )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sec ^{2} ( θ )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sec ^{2} ( θ )}

= \frac{1}{\frac{1}{s e c ^{2} ( θ )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sec ^{2} ( θ )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= sec^{2} (θ)

sec^{2} (θ)

sec^{2} (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e sin (cot (x) + tan (x)) = sec (x)

p ro v e sin^{2} (2 x) = 4 sin^{2} (x) \cdot cos^{2} (x)

p ro v e \frac{sec ( x ) csc ( x )}{2} = csc (2 x)

p ro v e - sec^{2} (x) = - tan^{2} (x) - 1

p ro v e tan (4 x) \cdot cos (4 x) = sin (4 x)