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beweisen (sin(3x)+sin(5x))/(cos(3x)-cos(5x))=cot(x)

Lösung

beweisen

\frac{sin ( 3 x ) + sin ( 5 x )}{cos ( 3 x ) - cos ( 5 x )} = cot (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{sin ( 3 x ) + sin ( 5 x )}{cos ( 3 x ) - cos ( 5 x )} = cot (x)

Manipuliere die linke Seite

\frac{sin ( 3 x ) + sin ( 5 x )}{cos ( 3 x ) - cos ( 5 x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{sin ( 3 x ) + sin ( 5 x )}{cos ( 3 x ) - cos ( 5 x )}

Benutze die Identität von Summe und Produkt:

sin (s) + sin (t) = 2 sin (\frac{s + t}{2}) cos (\frac{s - t}{2})

= \frac{2 sin ( \frac{3 x + 5 x}{2} ) cos ( \frac{3 x - 5 x}{2} )}{cos ( 3 x ) - cos ( 5 x )}

Vereinfache

\frac{2 sin ( \frac{3 x + 5 x}{2} ) cos ( \frac{3 x - 5 x}{2} )}{cos ( 3 x ) - cos ( 5 x )} : \frac{2 cos ( x ) sin ( 4 x )}{cos ( 3 x ) - cos ( 5 x )}

\frac{2 sin ( \frac{3 x + 5 x}{2} ) cos ( \frac{3 x - 5 x}{2} )}{cos ( 3 x ) - cos ( 5 x )}

2 sin (\frac{3 x + 5 x}{2}) cos (\frac{3 x - 5 x}{2}) = 2 sin (\frac{8 x}{2}) cos (- \frac{2 x}{2})

2 sin (\frac{3 x + 5 x}{2}) cos (\frac{3 x - 5 x}{2})

Addiere gleiche Elemente:

3 x + 5 x = 8 x

= 2 sin (\frac{8 x}{2}) cos (\frac{3 x - 5 x}{2})

\frac{3 x - 5 x}{2} = - \frac{2 x}{2}

\frac{3 x - 5 x}{2}

Addiere gleiche Elemente:

3 x - 5 x = - 2 x

= \frac{- 2 x}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 x}{2}

= 2 sin (\frac{8 x}{2}) cos (- \frac{2 x}{2})

= \frac{2 sin ( \frac{8 x}{2} ) cos ( - \frac{2 x}{2} )}{cos ( 3 x ) - cos ( 5 x )}

Verwende die negative Winkelidentität:

cos (- x) = cos (x)

= \frac{2 cos ( \frac{2 x}{2} ) sin ( \frac{8 x}{2} )}{cos ( 3 x ) - cos ( 5 x )}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{2 cos ( x ) sin ( \frac{8 x}{2} )}{cos ( 3 x ) - cos ( 5 x )}

Teile die Zahlen:

\frac{8}{2} = 4

= \frac{2 cos ( x ) sin ( 4 x )}{cos ( 3 x ) - cos ( 5 x )}

= \frac{2 cos ( x ) sin ( 4 x )}{cos ( 3 x ) - cos ( 5 x )}

Benutze die Identität von Summe und Produkt:

cos (s) - cos (t) = - 2 sin (\frac{s + t}{2}) sin (\frac{s - t}{2})

= \frac{2 cos ( x ) sin ( 4 x )}{- 2 sin ( \frac{3 x + 5 x}{2} ) sin ( \frac{3 x - 5 x}{2} )}

Vereinfache

\frac{2 cos ( x ) sin ( 4 x )}{- 2 sin ( \frac{3 x + 5 x}{2} ) sin ( \frac{3 x - 5 x}{2} )} : \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

\frac{2 cos ( x ) sin ( 4 x )}{- 2 sin ( \frac{3 x + 5 x}{2} ) sin ( \frac{3 x - 5 x}{2} )}

- 2 sin (\frac{3 x + 5 x}{2}) sin (\frac{3 x - 5 x}{2}) = - 2 sin (\frac{8 x}{2}) sin (- \frac{2 x}{2})

- 2 sin (\frac{3 x + 5 x}{2}) sin (\frac{3 x - 5 x}{2})

Addiere gleiche Elemente:

3 x + 5 x = 8 x

= - 2 sin (\frac{8 x}{2}) sin (\frac{3 x - 5 x}{2})

\frac{3 x - 5 x}{2} = - \frac{2 x}{2}

\frac{3 x - 5 x}{2}

Addiere gleiche Elemente:

3 x - 5 x = - 2 x

= \frac{- 2 x}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 x}{2}

= - 2 sin (\frac{8 x}{2}) sin (- \frac{2 x}{2})

= \frac{2 cos ( x ) sin ( 4 x )}{- 2 sin ( \frac{8 x}{2} ) sin ( - \frac{2 x}{2} )}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 cos ( x ) sin ( 4 x )}{2 sin ( \frac{8 x}{2} ) sin ( - \frac{2 x}{2} )}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= - \frac{cos ( x ) sin ( 4 x )}{sin ( \frac{8 x}{2} ) sin ( - \frac{2 x}{2} )}

Verwende die negative Winkelidentität:

sin (- x) = - sin (x)

= - \frac{cos ( x ) sin ( 4 x )}{( - sin ( \frac{2 x}{2} ) ) sin ( \frac{8 x}{2} )}

Fasse zusammen

= \frac{cos ( x ) sin ( 4 x )}{sin ( \frac{2 x}{2} ) sin ( \frac{8 x}{2} )}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{cos ( x ) sin ( 4 x )}{sin ( x ) sin ( \frac{8 x}{2} )}

Teile die Zahlen:

\frac{8}{2} = 4

= \frac{cos ( x ) sin ( 4 x )}{sin ( x ) sin ( 4 x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (4 x)

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

= cot (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e \frac{1}{sin ( x ) - sin ( x ) cos ( x )} = csc (x)

p ro v e sin (a) csc (a) = 1

p ro v e cos^{2} (θ) = \frac{( 1 + cos ( 2 θ ) )}{2}

p ro v e cos (33 0^{\circ}) = 1 - 2 sin^{2} (16 5^{\circ})

p ro v e tan^{4} (x) = sec^{4} (x) - sec^{2} (x)