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Popular Trigonometría >

verificar (cot(3θ)-tan(3θ))/(sin(3θ)+cos(3θ))=csc(3θ)-sec(3θ)

Solución

verificar

\frac{cot ( 3 θ ) - tan ( 3 θ )}{sin ( 3 θ ) + cos ( 3 θ )} = csc (3 θ) - sec (3 θ)

Solución

Verdadero

Pasos de solución

\frac{cot ( 3 θ ) - tan ( 3 θ )}{sin ( 3 θ ) + cos ( 3 θ )} = csc (3 θ) - sec (3 θ)

Manipular el lado derecho

\frac{cot ( 3 θ ) - tan ( 3 θ )}{sin ( 3 θ ) + cos ( 3 θ )}

Expresar con seno, coseno

\frac{cot ( 3 θ ) - tan ( 3 θ )}{cos ( 3 θ ) + sin ( 3 θ )}

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{\frac{c o s ( 3 θ )}{s i n ( 3 θ )} - tan ( 3 θ )}{cos ( 3 θ ) + sin ( 3 θ )}

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{\frac{c o s ( 3 θ )}{s i n ( 3 θ )} - \frac{s i n ( 3 θ )}{c o s ( 3 θ )}}{cos ( 3 θ ) + sin ( 3 θ )}

Simplificar

\frac{\frac{c o s ( 3 θ )}{s i n ( 3 θ )} - \frac{s i n ( 3 θ )}{c o s ( 3 θ )}}{cos ( 3 θ ) + sin ( 3 θ )} : \frac{cos ( 3 θ ) - sin ( 3 θ )}{sin ( 3 θ ) cos ( 3 θ )}

\frac{\frac{c o s ( 3 θ )}{s i n ( 3 θ )} - \frac{s i n ( 3 θ )}{c o s ( 3 θ )}}{cos ( 3 θ ) + sin ( 3 θ )}

Simplificar

\frac{cos ( 3 θ )}{sin ( 3 θ )} - \frac{sin ( 3 θ )}{cos ( 3 θ )}

en una fracción:

\frac{cos ^{2} ( 3 θ ) - sin ^{2} ( 3 θ )}{sin ( 3 θ ) cos ( 3 θ )}

\frac{cos ( 3 θ )}{sin ( 3 θ )} - \frac{sin ( 3 θ )}{cos ( 3 θ )}

Mínimo común múltiplo de

sin (3 θ), cos (3 θ) : sin (3 θ) cos (3 θ)

sin (3 θ), cos (3 θ)

Mínimo común múltiplo (MCM)

Calcular una expresión que este compuesta de factores que aparezcan tanto en

sin (3 θ)

cos (3 θ)

= sin (3 θ) cos (3 θ)

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{cos ( 3 θ )}{sin ( 3 θ )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

cos (3 θ)

\frac{cos ( 3 θ )}{sin ( 3 θ )} = \frac{cos ( 3 θ ) cos ( 3 θ )}{sin ( 3 θ ) cos ( 3 θ )} = \frac{cos ^{2} ( 3 θ )}{sin ( 3 θ ) cos ( 3 θ )}

Para

\frac{sin ( 3 θ )}{cos ( 3 θ )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

sin (3 θ)

\frac{sin ( 3 θ )}{cos ( 3 θ )} = \frac{sin ( 3 θ ) sin ( 3 θ )}{cos ( 3 θ ) sin ( 3 θ )} = \frac{sin ^{2} ( 3 θ )}{sin ( 3 θ ) cos ( 3 θ )}

= \frac{cos ^{2} ( 3 θ )}{sin ( 3 θ ) cos ( 3 θ )} - \frac{sin ^{2} ( 3 θ )}{sin ( 3 θ ) cos ( 3 θ )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{2} ( 3 θ ) - sin ^{2} ( 3 θ )}{sin ( 3 θ ) cos ( 3 θ )}

= \frac{\frac{c o s ^{2} ( 3 θ ) - s i n ^{2} ( 3 θ )}{s i n ( 3 θ ) c o s ( 3 θ )}}{cos ( 3 θ ) + sin ( 3 θ )}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{cos ^{2} ( 3 θ ) - sin ^{2} ( 3 θ )}{sin ( 3 θ ) cos ( 3 θ ) ( cos ( 3 θ ) + sin ( 3 θ ) )}

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

cos^{2} (3 θ) - sin^{2} (3 θ) = (cos (3 θ) + sin (3 θ)) (cos (3 θ) - sin (3 θ))

= \frac{( cos ( 3 θ ) + sin ( 3 θ ) ) ( cos ( 3 θ ) - sin ( 3 θ ) )}{sin ( 3 θ ) cos ( 3 θ ) ( cos ( 3 θ ) + sin ( 3 θ ) )}

Eliminar los terminos comunes:

cos (3 θ) + sin (3 θ)

= \frac{cos ( 3 θ ) - sin ( 3 θ )}{sin ( 3 θ ) cos ( 3 θ )}

= \frac{cos ( 3 θ ) - sin ( 3 θ )}{sin ( 3 θ ) cos ( 3 θ )}

= \frac{cos ( 3 θ ) - sin ( 3 θ )}{cos ( 3 θ ) sin ( 3 θ )}

Re-escribir usando identidades trigonométricas

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{cos ( 3 θ ) - \frac{1}{c s c ( 3 θ )}}{cos ( 3 θ ) \frac{1}{c s c ( 3 θ )}}

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{\frac{1}{s e c ( 3 θ )} - \frac{1}{c s c ( 3 θ )}}{\frac{1}{s e c ( 3 θ )} \cdot \frac{1}{c s c ( 3 θ )}}

Simplificar

\frac{\frac{1}{s e c ( 3 θ )} - \frac{1}{c s c ( 3 θ )}}{\frac{1}{s e c ( 3 θ )} \cdot \frac{1}{c s c ( 3 θ )}}

Multiplicar

\frac{1}{sec ( 3 θ )} \cdot \frac{1}{csc ( 3 θ )} : \frac{1}{sec ( 3 θ ) csc ( 3 θ )}

\frac{1}{sec ( 3 θ )} \cdot \frac{1}{csc ( 3 θ )}

Multiplicar fracciones:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot 1}{sec ( 3 θ ) csc ( 3 θ )}

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 1 = 1

= \frac{1}{sec ( 3 θ ) csc ( 3 θ )}

= \frac{\frac{1}{s e c ( 3 θ )} - \frac{1}{c s c ( 3 θ )}}{\frac{1}{s e c ( 3 θ ) c s c ( 3 θ )}}

Simplificar

\frac{1}{sec ( 3 θ )} - \frac{1}{csc ( 3 θ )}

en una fracción:

\frac{csc ( 3 θ ) - sec ( 3 θ )}{sec ( 3 θ ) csc ( 3 θ )}

\frac{1}{sec ( 3 θ )} - \frac{1}{csc ( 3 θ )}

Mínimo común múltiplo de

sec (3 θ), csc (3 θ) : sec (3 θ) csc (3 θ)

sec (3 θ), csc (3 θ)

Mínimo común múltiplo (MCM)

Calcular una expresión que este compuesta de factores que aparezcan tanto en

sec (3 θ)

csc (3 θ)

= sec (3 θ) csc (3 θ)

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{1}{sec ( 3 θ )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

csc (3 θ)

\frac{1}{sec ( 3 θ )} = \frac{1 \cdot csc ( 3 θ )}{sec ( 3 θ ) csc ( 3 θ )} = \frac{csc ( 3 θ )}{sec ( 3 θ ) csc ( 3 θ )}

Para

\frac{1}{csc ( 3 θ )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

sec (3 θ)

\frac{1}{csc ( 3 θ )} = \frac{1 \cdot sec ( 3 θ )}{csc ( 3 θ ) sec ( 3 θ )} = \frac{sec ( 3 θ )}{sec ( 3 θ ) csc ( 3 θ )}

= \frac{csc ( 3 θ )}{sec ( 3 θ ) csc ( 3 θ )} - \frac{sec ( 3 θ )}{sec ( 3 θ ) csc ( 3 θ )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{csc ( 3 θ ) - sec ( 3 θ )}{sec ( 3 θ ) csc ( 3 θ )}

= \frac{\frac{c s c ( 3 θ ) - s e c ( 3 θ )}{s e c ( 3 θ ) c s c ( 3 θ )}}{\frac{1}{s e c ( 3 θ ) c s c ( 3 θ )}}

Dividir fracciones:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( csc ( 3 θ ) - sec ( 3 θ ) ) sec ( 3 θ ) csc ( 3 θ )}{sec ( 3 θ ) csc ( 3 θ ) \cdot 1}

Simplificar

= \frac{( csc ( 3 θ ) - sec ( 3 θ ) ) sec ( 3 θ ) csc ( 3 θ )}{sec ( 3 θ ) csc ( 3 θ )}

Eliminar los terminos comunes:

sec (3 θ)

= \frac{( csc ( 3 θ ) - sec ( 3 θ ) ) csc ( 3 θ )}{csc ( 3 θ )}

Eliminar los terminos comunes:

csc (3 θ)

= csc (3 θ) - sec (3 θ)

csc (3 θ) - sec (3 θ)

csc (3 θ) - sec (3 θ)

Se demostró que ambos lados pueden tomar la misma forma

\Rightarrow Verdadero

Ejemplos populares

verificar sin(-pi/2-θ)=-cos(θ)

verificar-2cos(2x)*sin(2x)=sin(-4x)

verificar (cos(θ^2))(1/(cos(θ^2)))=1

verificar sin^2(x)(1+(cos(x))/(sin(x)))=1

verificar tan(x)+1=1