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dimostrare cos^2(x/2)= 1/2+1/2 cos(x)

Soluzione

dimostrare

cos^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos (x)

Vero

Fasi della soluzione

cos^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos (x)

Sia:

u = \frac{x}{2}

cos^{2} (u) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos (2 u)

Dimostra

cos^{2} (u) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos (2 u) :

Vero

cos^{2} (u) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos (2 u)

Manipolando il lato destro

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos (2 u)

Fattorizza

\frac{1}{2} + cos (2 u) \frac{1}{2} : \frac{1}{2} (1 + cos (2 u))

\frac{1}{2} + cos (2 u) \frac{1}{2}

Fattorizzare dal termine comune

\frac{1}{2}

= \frac{1}{2} (1 + cos (2 u))

= (1 + cos (2 u)) \frac{1}{2}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

(1 + cos (2 u)) \frac{1}{2}

Usare l'Identità Doppio Angolo:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= (1 + 2 cos^{2} (u) - 1) \frac{1}{2}

Semplifica

(1 + 2 cos^{2} (u) - 1) \frac{1}{2} : cos^{2} (u)

(1 + 2 cos^{2} (u) - 1) \frac{1}{2}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot ( 1 + 2 cos ^{2} ( u ) - 1 )}{2}

1 \cdot (1 + 2 cos^{2} (u) - 1) = 2 cos^{2} (u)

1 \cdot (1 + 2 cos^{2} (u) - 1)

Semplifica

1 + 2 cos^{2} (u) - 1 : 2 cos^{2} (u)

1 + 2 cos^{2} (u) - 1

Raggruppa termini simili

= 2 cos^{2} (u) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 2 cos^{2} (u)

= 1 \cdot 2 cos^{2} (u)

Moltiplica i numeri:

1 \cdot 2 = 2

= 2 cos^{2} (u)

= \frac{2 cos ^{2} ( u )}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= cos^{2} (u)

= cos^{2} (u)

= cos^{2} (u)

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

Quindi

cos^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos (x)

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

p ro v e 2 sin (x) - cot (x) = - cot (x) \cdot 2 cot (x)

p ro v e 4 cos^{3} (a) - 3 cos (a) = cos (3 a)

p ro v e sin^{2} (θ) + (\frac{1}{2})^{2} = 1

p ro v e sin (θ) (cot (θ) + tan (θ)) = tan (θ)

p ro v e - csc^{2} (x) = \frac{sec ( x )}{2 sin ( x )}