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beweisen 1-((sin^2(θ)))/(1+cos(θ))=cos(θ)

Lösung

beweisen

1 - \frac{( sin ^{2} ( θ ) )}{1 + cos ( θ )} = cos (θ)

Wahr

Schritte zur Lösung

1 - \frac{sin ^{2} ( θ )}{1 + cos ( θ )} = cos (θ)

Manipuliere die linke Seite

1 - \frac{sin ^{2} ( θ )}{1 + cos ( θ )}

Vereinfache

1 - \frac{sin ^{2} ( θ )}{1 + cos ( θ )} : \frac{1 + cos ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}{1 + cos ( θ )}

1 - \frac{sin ^{2} ( θ )}{1 + cos ( θ )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 ( 1 + cos ( θ ) )}{1 + cos ( θ )}

= \frac{1 \cdot ( 1 + cos ( θ ) )}{1 + cos ( θ )} - \frac{sin ^{2} ( θ )}{1 + cos ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot ( 1 + cos ( θ ) ) - sin ^{2} ( θ )}{1 + cos ( θ )}

1 \cdot (1 + cos (θ)) = 1 + cos (θ)

1 \cdot (1 + cos (θ))

Multipliziere:

1 \cdot (1 + cos (θ)) = (1 + cos (θ))

= (1 + cos (θ))

Entferne die Klammern:

(a) = a

= 1 + cos (θ)

= \frac{1 + cos ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}{1 + cos ( θ )}

= \frac{1 + cos ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}{1 + cos ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1 + cos ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}{1 + cos ( θ )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{cos ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{1 + cos ( θ )}

Vereinfache

\frac{cos ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{1 + cos ( θ )} : cos (θ)

\frac{cos ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{1 + cos ( θ )}

Faktorisiere

cos (θ) + cos^{2} (θ) : cos (θ) (1 + cos (θ))

cos (θ) + cos^{2} (θ)

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

cos^{2} (θ) = cos (θ) cos (θ)

= cos (θ) + cos (θ) cos (θ)

Klammere gleiche Terme aus

cos (θ)

= cos (θ) (1 + cos (θ))

= \frac{cos ( θ ) ( 1 + cos ( θ ) )}{1 + cos ( θ )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

1 + cos (θ)

= cos (θ)

= cos (θ)

= cos (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e 4 sin^{2} (x) + 2 cos^{2} (x) = - 2 + 4 sin^{2} (x)

p ro v e arctan (- \frac{4}{3}) = - arctan (\frac{4}{3})

p ro v e \frac{1 - cos ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )} = tan (x)

p ro v e sin (x) cos (x) = csc (x)

p ro v e tan (μ) sec (μ) cos (μ) = tan (μ)