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prouver 2sin^2(x/2)+4cos^2(x/2)-3=cos(x)

Solution

prouver

2 sin^{2} (\frac{x}{2}) + 4 cos^{2} (\frac{x}{2}) - 3 = cos (x)

vrai

étapes des solutions

2 sin^{2} (\frac{x}{2}) + 4 cos^{2} (\frac{x}{2}) - 3 = cos (x)

Soit :

u = \frac{x}{2}

2 sin^{2} (u) + 4 cos^{2} (u) - 3 = cos (2 u)

Prouver que

2 sin^{2} (u) + 4 cos^{2} (u) - 3 = cos (2 u) :

vrai

2 sin^{2} (u) + 4 cos^{2} (u) - 3 = cos (2 u)

En manipulant le côté gauche

2 sin^{2} (u) + 4 cos^{2} (u) - 3

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

2 sin^{2} (u) + 4 cos^{2} (u) - 3

Utiliser l'identité hyperbolique:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= 2 sin^{2} (u) + 4 (1 - sin^{2} (u)) - 3

Simplifier

2 sin^{2} (u) + 4 (1 - sin^{2} (u)) - 3 : - 2 sin^{2} (u) + 1

2 sin^{2} (u) + 4 (1 - sin^{2} (u)) - 3

Développer

4 (1 - sin^{2} (u)) : 4 - 4 sin^{2} (u)

4 (1 - sin^{2} (u))

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = sin^{2} (u)

= 4 \cdot 1 - 4 sin^{2} (u)

Multiplier les nombres :

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 sin^{2} (u)

= 2 sin^{2} (u) + 4 - 4 sin^{2} (u) - 3

Simplifier

2 sin^{2} (u) + 4 - 4 sin^{2} (u) - 3 : - 2 sin^{2} (u) + 1

2 sin^{2} (u) + 4 - 4 sin^{2} (u) - 3

Grouper comme termes

= 2 sin^{2} (u) - 4 sin^{2} (u) + 4 - 3

Additionner les éléments similaires :

2 sin^{2} (u) - 4 sin^{2} (u) = - 2 sin^{2} (u)

= - 2 sin^{2} (u) + 4 - 3

Additionner/Soustraire les nombres :

4 - 3 = 1

= - 2 sin^{2} (u) + 1

= - 2 sin^{2} (u) + 1

= - 2 sin^{2} (u) + 1

Utiliser l'identité d'angle double:

1 - 2 sin^{2} (x) = cos (2 x)

= cos (2 u)

= cos (2 u)

Nous avons démontré que les deux côtés pourraient avoir la même forme

\Rightarrow vrai

Par conséquent

2 sin^{2} (\frac{x}{2}) + 4 cos^{2} (\frac{x}{2}) - 3 = cos (x)

Nous avons démontré que les deux côtés pourraient avoir la même forme

\Rightarrow vrai