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dimostrare 2sin^2(x/2)+4cos^2(x/2)-3=cos(x)

Soluzione

dimostrare

2 sin^{2} (\frac{x}{2}) + 4 cos^{2} (\frac{x}{2}) - 3 = cos (x)

Vero

Fasi della soluzione

2 sin^{2} (\frac{x}{2}) + 4 cos^{2} (\frac{x}{2}) - 3 = cos (x)

Sia:

u = \frac{x}{2}

2 sin^{2} (u) + 4 cos^{2} (u) - 3 = cos (2 u)

Dimostra

2 sin^{2} (u) + 4 cos^{2} (u) - 3 = cos (2 u) :

Vero

2 sin^{2} (u) + 4 cos^{2} (u) - 3 = cos (2 u)

Manipolando il lato sinistro

2 sin^{2} (u) + 4 cos^{2} (u) - 3

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

2 sin^{2} (u) + 4 cos^{2} (u) - 3

Usa l'identità pitagorica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= 2 sin^{2} (u) + 4 (1 - sin^{2} (u)) - 3

Semplifica

2 sin^{2} (u) + 4 (1 - sin^{2} (u)) - 3 : - 2 sin^{2} (u) + 1

2 sin^{2} (u) + 4 (1 - sin^{2} (u)) - 3

Espandi

4 (1 - sin^{2} (u)) : 4 - 4 sin^{2} (u)

4 (1 - sin^{2} (u))

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = sin^{2} (u)

= 4 \cdot 1 - 4 sin^{2} (u)

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 sin^{2} (u)

= 2 sin^{2} (u) + 4 - 4 sin^{2} (u) - 3

Semplifica

2 sin^{2} (u) + 4 - 4 sin^{2} (u) - 3 : - 2 sin^{2} (u) + 1

2 sin^{2} (u) + 4 - 4 sin^{2} (u) - 3

Raggruppa termini simili

= 2 sin^{2} (u) - 4 sin^{2} (u) + 4 - 3

Aggiungi elementi simili:

2 sin^{2} (u) - 4 sin^{2} (u) = - 2 sin^{2} (u)

= - 2 sin^{2} (u) + 4 - 3

Aggiungi/Sottrai i numeri:

4 - 3 = 1

= - 2 sin^{2} (u) + 1

= - 2 sin^{2} (u) + 1

= - 2 sin^{2} (u) + 1

Usare l'Identità Doppio Angolo:

1 - 2 sin^{2} (x) = cos (2 x)

= cos (2 u)

= cos (2 u)

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

Quindi

2 sin^{2} (\frac{x}{2}) + 4 cos^{2} (\frac{x}{2}) - 3 = cos (x)

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

p ro v e tan (2 u) = \frac{( 2 tan ( u ) )}{1 - tan ^{2} ( u )}

p ro v e \frac{1}{- sin ( x )} = sec (x) tan (x)

p ro v e 6 cos (θ) = 6 cos (- θ)

p ro v e \frac{( tan ( 2 x ) + cot ( 2 x ) )}{csc ( 2 x )} = sec (2 x)

p ro v e (cos (θ) - sin (θ))^{2} = 1