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dimostrare (cot(x)+1)^2-2cot(x)=csc^2(x)

Soluzione

dimostrare

(cot (x) + 1)^{2} - 2 cot (x) = csc^{2} (x)

Vero

Fasi della soluzione

(cot (x) + 1)^{2} - 2 cot (x) = csc^{2} (x)

Manipolando il lato sinistro

(cot (x) + 1)^{2} - 2 cot (x)

Semplifica

(1 + cot (x))^{2} - 2 cot (x) : cot^{2} (x) + 1

(1 + cot (x))^{2} - 2 cot (x)

(1 + cot (x))^{2} : 1 + 2 cot (x) + cot^{2} (x)

Applicare la formula del quadrato perfetto:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = 1, b = cot (x)

= 1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot cot (x) + cot^{2} (x)

Semplifica

1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot cot (x) + cot^{2} (x) : 1 + 2 cot (x) + cot^{2} (x)

1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot cot (x) + cot^{2} (x)

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 + 2 \cdot 1 \cdot cot (x) + cot^{2} (x)

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= 1 + 2 cot (x) + cot^{2} (x)

= 1 + 2 cot (x) + cot^{2} (x)

= 1 + 2 cot (x) + cot^{2} (x) - 2 cot (x)

Semplifica

1 + 2 cot (x) + cot^{2} (x) - 2 cot (x) : cot^{2} (x) + 1

1 + 2 cot (x) + cot^{2} (x) - 2 cot (x)

Raggruppa termini simili

= 2 cot (x) + cot^{2} (x) - 2 cot (x) + 1

Aggiungi elementi simili:

2 cot (x) - 2 cot (x) = 0

= cot^{2} (x) + 1

= cot^{2} (x) + 1

= 1 + cot^{2} (x)

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

1 + cot^{2} (x)

Usa l'identità pitagorica:

1 + cot^{2} (x) = csc^{2} (x)

= csc^{2} (x)

= csc^{2} (x)

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

p ro v e cos (θ) = \frac{1}{3}

p ro v e sec (θ) - \frac{tan ( θ )}{csc ( θ )} = cos (θ)

p ro v e sec^{2} (x) = (1 + tan^{2} (x))

p ro v e cot^{2} (x) sec^{2} (x) = cot^{2} (x) + 1

p ro v e \frac{sin ( x )}{cos ( x ) + sin ( x )} = 1