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prouver (cos^2(x))/(sin^2(x))+1=csc^2(x)

Solution

prouver

\frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} + 1 = csc^{2} (x)

vrai

étapes des solutions

\frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} + 1 = csc^{2} (x)

En manipulant le côté droit

csc^{2} (x)

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

csc^{2} (x)

Utiliser l'identité hyperbolique:

csc^{2} (x) = 1 + cot^{2} (x)

= 1 + cot^{2} (x)

= 1 + cot^{2} (x)

Exprimer avec sinus, cosinus

1 + cot^{2} (x)

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= 1 + (\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2}

Simplifier

1 + (\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2} : \frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

1 + (\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= 1 + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Convertir un élément en fraction:

1 = \frac{1 sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Multiplier:

1 \cdot sin^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Développer

\frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} : \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} + 1

\frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} = \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} + \frac{sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} + \frac{sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Appliquer la règle

\frac{a}{a} = 1

\frac{sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} = 1

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} + 1

= 1 + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} + 1

Nous avons démontré que les deux côtés pourraient avoir la même forme

\Rightarrow vrai