prouver cot^2(x)=csc^2(x)(1-sin^2(x))

Solution

prouver

cot^{2} (x) = csc^{2} (x) (1 - sin^{2} (x))

vrai

étapes des solutions

cot^{2} (x) = csc^{2} (x) (1 - sin^{2} (x))

En manipulant le côté gauche

cot^{2} (x)

Exprimer avec sinus, cosinus

cot^{2} (x)

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= (\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2}

Simplifier

(\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2} : \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

(\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

\frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Utiliser l'identité hyperbolique:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

\frac{1}{sin ( x )} = csc (x)

= (1 - sin^{2} (x)) csc^{2} (x)

= csc^{2} (x) (1 - sin^{2} (x))

Nous avons démontré que les deux côtés pourraient avoir la même forme

\Rightarrow vrai