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Populaire Trigonométrie >

prouver cos(θ+30)-sin(θ+60)=-sin(θ)

Solution

prouver

cos (θ + 3 0^{\circ}) - sin (θ + 6 0^{\circ}) = - sin (θ)

Solution

vrai

étapes des solutions

cos (θ + 3 0^{\circ}) - sin (θ + 6 0^{\circ}) = - sin (θ)

En manipulant le côté gauche

cos (θ + 3 0^{\circ}) - sin (θ + 6 0^{\circ})

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

sin (θ + 6 0^{\circ})

Utiliser l'identité de la somme de l'angle:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= sin (θ) cos (6 0^{\circ}) + cos (θ) sin (6 0^{\circ})

Simplifier

sin (θ) cos (6 0^{\circ}) + cos (θ) sin (6 0^{\circ}) : \frac{1}{2} sin (θ) + \frac{3}{2} cos (θ)

sin (θ) cos (6 0^{\circ}) + cos (θ) sin (6 0^{\circ})

Simplifier

cos (6 0^{\circ}) : \frac{1}{2}

cos (6 0^{\circ})

Utiliser l'identité triviale suivante:

cos (6 0^{\circ}) = \frac{1}{2}

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

36 0^{\circ} n

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{1}{2}

= \frac{1}{2} sin (θ) + sin (6 0^{\circ}) cos (θ)

Simplifier

sin (6 0^{\circ}) : \frac{3}{2}

sin (6 0^{\circ})

Utiliser l'identité triviale suivante:

sin (6 0^{\circ}) = \frac{3}{2}

Tableau de périodicité

sin (x)

avec un cycle

36 0^{\circ} n

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= \frac{3}{2}

= \frac{1}{2} sin (θ) + \frac{3}{2} cos (θ)

= \frac{1}{2} sin (θ) + \frac{3}{2} cos (θ)

= cos (θ + 3 0^{\circ}) - (\frac{1}{2} sin (θ) + \frac{3}{2} cos (θ))

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

cos (θ + 3 0^{\circ})

Utiliser l'identité de la somme de l'angle:

cos (s + t) = cos (s) cos (t) - sin (s) sin (t)

= cos (θ) cos (3 0^{\circ}) - sin (θ) sin (3 0^{\circ})

Simplifier

cos (θ) cos (3 0^{\circ}) - sin (θ) sin (3 0^{\circ}) : \frac{3}{2} cos (θ) - \frac{1}{2} sin (θ)

cos (θ) cos (3 0^{\circ}) - sin (θ) sin (3 0^{\circ})

Simplifier

cos (3 0^{\circ}) : \frac{3}{2}

cos (3 0^{\circ})

Utiliser l'identité triviale suivante:

cos (3 0^{\circ}) = \frac{3}{2}

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

36 0^{\circ} n

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{3}{2}

= \frac{3}{2} cos (θ) - sin (3 0^{\circ}) sin (θ)

Simplifier

sin (3 0^{\circ}) : \frac{1}{2}

sin (3 0^{\circ})

Utiliser l'identité triviale suivante:

sin (3 0^{\circ}) = \frac{1}{2}

Tableau de périodicité

sin (x)

avec un cycle

36 0^{\circ} n

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= \frac{1}{2}

= \frac{3}{2} cos (θ) - \frac{1}{2} sin (θ)

= \frac{3}{2} cos (θ) - \frac{1}{2} sin (θ)

= \frac{3}{2} cos (θ) - \frac{1}{2} sin (θ) - (\frac{1}{2} sin (θ) + \frac{3}{2} cos (θ))

Simplifier

\frac{3}{2} cos (θ) - \frac{1}{2} sin (θ) - (\frac{1}{2} sin (θ) + \frac{3}{2} cos (θ)) : - sin (θ)

\frac{3}{2} cos (θ) - \frac{1}{2} sin (θ) - (\frac{1}{2} sin (θ) + \frac{3}{2} cos (θ))

- (\frac{1}{2} sin (θ) + \frac{3}{2} cos (θ)) : - \frac{1}{2} sin (θ) - \frac{3}{2} cos (θ)

- (\frac{1}{2} sin (θ) + \frac{3}{2} cos (θ))

Distribuer des parenthèses

= - (\frac{1}{2} sin (θ)) - (\frac{3}{2} cos (θ))

Appliquer les règles des moins et des plus

+ (- a) = - a

= - \frac{1}{2} sin (θ) - \frac{3}{2} cos (θ)

= \frac{3}{2} cos (θ) - \frac{1}{2} sin (θ) - \frac{1}{2} sin (θ) - \frac{3}{2} cos (θ)

Simplifier

\frac{3}{2} cos (θ) - \frac{1}{2} sin (θ) - \frac{1}{2} sin (θ) - \frac{3}{2} cos (θ) : - sin (θ)

\frac{3}{2} cos (θ) - \frac{1}{2} sin (θ) - \frac{1}{2} sin (θ) - \frac{3}{2} cos (θ)

Grouper comme termes

= - \frac{1}{2} sin (θ) - \frac{1}{2} sin (θ) + \frac{3}{2} cos (θ) - \frac{3}{2} cos (θ)

Additionner les éléments similaires :

\frac{3}{2} cos (θ) - \frac{3}{2} cos (θ) = 0

\frac{3}{2} cos (θ) - \frac{3}{2} cos (θ)

Factoriser le terme commun

cos (θ)

= cos (θ) (\frac{3}{2} - \frac{3}{2})

\frac{3}{2} - \frac{3}{2} = 0

\frac{3}{2} - \frac{3}{2}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 - 3}{2}

Factoriser

3 - 3 : 0

3 - 3

Factoriser le terme commun

3

= 3 (1 - 1)

Redéfinir

= 0

= \frac{0}{2}

Appliquer la règle

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= 0

= 0

= - \frac{1}{2} sin (θ) - \frac{1}{2} sin (θ)

Additionner les éléments similaires :

- \frac{1}{2} sin (θ) - \frac{1}{2} sin (θ) = - sin (θ)

- \frac{1}{2} sin (θ) - \frac{1}{2} sin (θ)

Factoriser le terme commun

sin (θ)

= sin (θ) (- \frac{1}{2} - \frac{1}{2})

- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = - 1

- \frac{1}{2} - \frac{1}{2}

Appliquer la règle

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 - 1}{2}

Soustraire les nombres :

- 1 - 1 = - 2

= \frac{- 2}{2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{2}

Appliquer la règle

\frac{a}{a} = 1

= - 1

= - sin (θ)

= - sin (θ)

= - sin (θ)

= - sin (θ)

Nous avons démontré que les deux côtés pourraient avoir la même forme

\Rightarrow vrai

Exemples populaires

prouver tan(a)*cot(a)=sin^2(a)+cos^2(a)

prouver tan(x)+(cos(x))/(1-sin(x))=sec(x)

prouver sin(x)cos(x)=tan(x)

prouver cot((15pi)/8)=cot((7pi)/8)

prouver sin^4(x)=(sin^2(x))^2