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prouver 1+((tan^2(x)))/(1+sec(x))=sec(x)

Solution

prouver

1 + \frac{( tan ^{2} ( x ) )}{1 + sec ( x )} = sec (x)

vrai

étapes des solutions

1 + \frac{tan ^{2} ( x )}{1 + sec ( x )} = sec (x)

En manipulant le côté gauche

1 + \frac{tan ^{2} ( x )}{1 + sec ( x )}

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

1 + \frac{tan ^{2} ( x )}{1 + sec ( x )}

Utiliser l'identité hyperbolique:

tan^{2} (x) + 1 = sec^{2} (x)

tan^{2} (x) = sec^{2} (x) - 1

= 1 + \frac{sec ^{2} ( x ) - 1}{1 + sec ( x )}

Simplifier

1 + \frac{sec ^{2} ( x ) - 1}{1 + sec ( x )} : sec (x)

1 + \frac{sec ^{2} ( x ) - 1}{1 + sec ( x )}

Annuler

\frac{sec ^{2} ( x ) - 1}{1 + sec ( x )} : sec (x) - 1

\frac{sec ^{2} ( x ) - 1}{1 + sec ( x )}

Factoriser

sec^{2} (x) - 1 : (sec (x) + 1) (sec (x) - 1)

sec^{2} (x) - 1

Récrire

1

comme

1^{2}

= sec^{2} (x) - 1^{2}

Appliquer la formule de différence de deux carrés :

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

sec^{2} (x) - 1^{2} = (sec (x) + 1) (sec (x) - 1)

= (sec (x) + 1) (sec (x) - 1)

= \frac{( sec ( x ) + 1 ) ( sec ( x ) - 1 )}{1 + sec ( x )}

Annuler le facteur commun :

sec (x) + 1

= sec (x) - 1

= 1 + sec (x) - 1

Grouper comme termes

= sec (x) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= sec (x)

= sec (x)

= sec (x)

Nous avons démontré que les deux côtés pourraient avoir la même forme

\Rightarrow vrai