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provar 1+((tan^2(x)))/(1+sec(x))=sec(x)

Solução

provar

1 + \frac{( tan ^{2} ( x ) )}{1 + sec ( x )} = sec (x)

Verdadeiro

Passos da solução

1 + \frac{tan ^{2} ( x )}{1 + sec ( x )} = sec (x)

Manipular o lado direito

1 + \frac{tan ^{2} ( x )}{1 + sec ( x )}

Reeecreva usando identidades trigonométricas

1 + \frac{tan ^{2} ( x )}{1 + sec ( x )}

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

tan^{2} (x) + 1 = sec^{2} (x)

tan^{2} (x) = sec^{2} (x) - 1

= 1 + \frac{sec ^{2} ( x ) - 1}{1 + sec ( x )}

Simplificar

1 + \frac{sec ^{2} ( x ) - 1}{1 + sec ( x )} : sec (x)

1 + \frac{sec ^{2} ( x ) - 1}{1 + sec ( x )}

Cancelar

\frac{sec ^{2} ( x ) - 1}{1 + sec ( x )} : sec (x) - 1

\frac{sec ^{2} ( x ) - 1}{1 + sec ( x )}

Fatorar

sec^{2} (x) - 1 : (sec (x) + 1) (sec (x) - 1)

sec^{2} (x) - 1

Reescrever

1

como

1^{2}

= sec^{2} (x) - 1^{2}

Aplicar a regra da diferença de quadrados:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

sec^{2} (x) - 1^{2} = (sec (x) + 1) (sec (x) - 1)

= (sec (x) + 1) (sec (x) - 1)

= \frac{( sec ( x ) + 1 ) ( sec ( x ) - 1 )}{1 + sec ( x )}

Eliminar o fator comum:

sec (x) + 1

= sec (x) - 1

= 1 + sec (x) - 1

Agrupar termos semelhantes

= sec (x) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= sec (x)

= sec (x)

= sec (x)

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

p ro v e csc^{2} (x) \cdot cos^{2} (x) = cot^{2} (x)

p ro v e \frac{1}{sec ^{3} ( x ) cos ^{4} ( x )} = sec (x)

p ro v e csc^{2} (θ) + 1 = cot^{2} (θ)

p ro v e 1 + tan^{2} (B) = sec^{2} (B)

p ro v e cos^{2} (7 θ) - sin^{2} (7 θ) = cos (14 θ)