provar csc(2x)+cot(2x)=(1+cos(2x))/(sin(2x))

Solução

provar

csc (2 x) + cot (2 x) = \frac{1 + cos ( 2 x )}{sin ( 2 x )}

Verdadeiro

Passos da solução

csc (2 x) + cot (2 x) = \frac{1 + cos ( 2 x )}{sin ( 2 x )}

Manipular o lado direito

csc (2 x) + cot (2 x)

Expresar com seno, cosseno

cot (2 x) + csc (2 x)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( 2 x )}{sin ( 2 x )} + csc (2 x)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{cos ( 2 x )}{sin ( 2 x )} + \frac{1}{sin ( 2 x )}

Simplificar

\frac{cos ( 2 x )}{sin ( 2 x )} + \frac{1}{sin ( 2 x )} : \frac{cos ( 2 x ) + 1}{sin ( 2 x )}

\frac{cos ( 2 x )}{sin ( 2 x )} + \frac{1}{sin ( 2 x )}

Aplicar a regra

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( 2 x ) + 1}{sin ( 2 x )}

= \frac{cos ( 2 x ) + 1}{sin ( 2 x )}

= \frac{1 + cos ( 2 x )}{sin ( 2 x )}

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

p ro v e 1 - 2 sin^{2} (t) = 2 cos^{2} (t) - 1

p ro v e \frac{1}{cos ^{2} ( θ )} = sec^{2} (θ)

p ro v e - cos (2 t) sin (2 t) + sin (2 t) cos (2 t) + 0 = 0

p ro v e \frac{tan ( θ ) sin ( θ )}{sec ( θ ) - 1} = 1 + cos (θ)

p ro v e 1 - 2 sin^{2} (x) = - 1 + cos^{2} (x)