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Popular Trigonometría >

5sin^2(x)>=-2cos(x)

Solución

5 sin^{2} (x) \geq - 2 cos (x)

Solución

- arccos (\frac{- 26 + 1}{5}) + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{- 26 + 1}{5}) + 2 πn

Notación de intervalos

[- arccos (\frac{- 26 + 1}{5}) + 2 πn, arccos (\frac{- 26 + 1}{5}) + 2 πn]

Decimal

- 2.53186 \dots + 2 πn \leq x \leq 2.53186 \dots + 2 πn

Pasos de solución

5 sin^{2} (x) \geq - 2 cos (x)

Desplace

2 cos (x)

a la izquierda

5 sin^{2} (x) \geq - 2 cos (x)

Sumar

2 cos (x)

a ambos lados

5 sin^{2} (x) + 2 cos (x) \geq - 2 cos (x) + 2 cos (x)

5 sin^{2} (x) + 2 cos (x) \geq 0

5 sin^{2} (x) + 2 cos (x) \geq 0

Usar la siguiente identidad:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Por lo tanto

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

5 (1 - cos^{2} (x)) + 2 cos (x) \geq 0

Sea:

u = cos (x)

5 (1 - u^{2}) + 2 u \geq 0

5 (1 - u^{2}) + 2 u \geq 0 : \frac{- 26 + 1}{5} \leq u \leq \frac{26 + 1}{5}

5 (1 - u^{2}) + 2 u \geq 0

Factorizar

5 (1 - u^{2}) + 2 u : - 5 (u - \frac{1}{5})^{2} + \frac{26}{5} \geq 0

5 (1 - u^{2}) + 2 u

5 (1 - u^{2}) = - 5 (u + 1) (u - 1)

5 (1 - u^{2})

Factorizar

- u^{2} + 1 : - (u + 1) (u - 1)

- u^{2} + 1

Factorizar el termino común

- 1

= - (u^{2} - 1)

Factorizar

u^{2} - 1 : (u + 1) (u - 1)

u^{2} - 1

Reescribir

1

como

1^{2}

= u^{2} - 1^{2}

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

u^{2} - 1^{2} = (u + 1) (u - 1)

= (u + 1) (u - 1)

= - (u + 1) (u - 1)

= - 5 (u + 1) (u - 1)

= - 5 (u + 1) (u - 1) + 2 u

Expandir

- 5 (u + 1) (u - 1) + 2 u : - 5 u^{2} + 5 + 2 u

- 5 (u + 1) (u - 1) + 2 u

Expandir

- 5 (u + 1) (u - 1) : - 5 u^{2} + 5

Expandir

(u + 1) (u - 1) : u^{2} - 1

(u + 1) (u - 1)

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = u, b = 1

= u^{2} - 1^{2}

Aplicar la regla

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= u^{2} - 1

= - 5 (u^{2} - 1)

Expandir

- 5 (u^{2} - 1) : - 5 u^{2} + 5

- 5 (u^{2} - 1)

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = - 5, b = u^{2}, c = 1

= - 5 u^{2} - (- 5) \cdot 1

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a

= - 5 u^{2} + 5 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

5 \cdot 1 = 5

= - 5 u^{2} + 5

= - 5 u^{2} + 5

= - 5 u^{2} + 5 + 2 u

= - 5 u^{2} + 5 + 2 u

Factorizar

- 5 u^{2} + 2 u + 5 : - (5 u^{2} - 2 u - 5)

- 5 u^{2} + 2 u + 5

Factorizar el termino común

- 1

= - (5 u^{2} - 2 u - 5)

= - (5 u^{2} - 2 u - 5)

Completar el cuadrado

- (5 u^{2} - 2 u - 5) : - 5 (u - \frac{1}{5})^{2} + \frac{26}{5}

- (5 u^{2} - 2 u - 5)

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c

- 5 u^{2} + 2 u + 5

Escribir

- 5 u^{2} + 2 u + 5

en la forma:

x^{2} + 2 a x + a^{2}

Factorizar

- 5

- 5 (u^{2} - \frac{2 u}{5} - 1)

2 a = - \frac{2}{5} : a = - \frac{1}{5}

2 a = - \frac{2}{5}

Dividir ambos lados entre

2

2 a = - \frac{2}{5}

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 a}{2} = \frac{- \frac{2}{5}}{2}

Simplificar

\frac{2 a}{2} = \frac{- \frac{2}{5}}{2}

Simplificar

\frac{2 a}{2} : a

\frac{2 a}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= a

Simplificar

\frac{- \frac{2}{5}}{2} : - \frac{1}{5}

\frac{- \frac{2}{5}}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{\frac{2}{5}}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

\frac{\frac{2}{5}}{2} = \frac{2}{5 \cdot 2}

= - \frac{2}{5 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

5 \cdot 2 = 10

= - \frac{2}{10}

Eliminar los terminos comunes:

2

= - \frac{1}{5}

a = - \frac{1}{5}

a = - \frac{1}{5}

a = - \frac{1}{5}

Sumar y restar (de izquierda a derecha)

(- \frac{1}{5})^{2}

- 5 (u^{2} - \frac{2 u}{5} - 1 + (- \frac{1}{5})^{2} - (- \frac{1}{5})^{2})

x^{2} + 2 a x + a^{2} = (x + a)^{2}

u^{2} - \frac{2}{5} u + (- \frac{1}{5})^{2} = (u - \frac{1}{5})^{2}

- 5 ((u - \frac{1}{5})^{2} - 1 - (- \frac{1}{5})^{2})

Simplificar

- 5 (u - \frac{1}{5})^{2} + \frac{26}{5}

- 5 (u - \frac{1}{5})^{2} + \frac{26}{5} \geq 0

- 5 (u - \frac{1}{5})^{2} + \frac{26}{5} \geq 0

Desplace

\frac{26}{5}

a la derecha

- 5 (u - \frac{1}{5})^{2} + \frac{26}{5} \geq 0

Restar

\frac{26}{5}

de ambos lados

- 5 (u - \frac{1}{5})^{2} + \frac{26}{5} - \frac{26}{5} \geq 0 - \frac{26}{5}

Simplificar

- 5 (u - \frac{1}{5})^{2} \geq - \frac{26}{5}

- 5 (u - \frac{1}{5})^{2} \geq - \frac{26}{5}

Multiplicar ambos lados por

- 1

- 5 (u - \frac{1}{5})^{2} \geq - \frac{26}{5}

Multiplicar ambos lados por -1 (invierte la desigualdad)

(- 5 (u - \frac{1}{5})^{2}) (- 1) \leq (- \frac{26}{5}) (- 1)

Simplificar

5 (u - \frac{1}{5})^{2} \leq \frac{26}{5}

5 (u - \frac{1}{5})^{2} \leq \frac{26}{5}

Dividir ambos lados entre

5

5 (u - \frac{1}{5})^{2} \leq \frac{26}{5}

Dividir ambos lados entre

5

\frac{5 ( u - \frac{1}{5} ) ^{2}}{5} \leq \frac{\frac{26}{5}}{5}

Simplificar

\frac{5 ( u - \frac{1}{5} ) ^{2}}{5} \leq \frac{\frac{26}{5}}{5}

Simplificar

\frac{5 ( u - \frac{1}{5} ) ^{2}}{5} : (u - \frac{1}{5})^{2}

\frac{5 ( u - \frac{1}{5} ) ^{2}}{5}

Dividir:

\frac{5}{5} = 1

= (u - \frac{1}{5})^{2}

Simplificar

\frac{\frac{26}{5}}{5} : \frac{26}{25}

\frac{\frac{26}{5}}{5}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{26}{5 \cdot 5}

Multiplicar los numeros:

5 \cdot 5 = 25

= \frac{26}{25}

(u - \frac{1}{5})^{2} \leq \frac{26}{25}

(u - \frac{1}{5})^{2} \leq \frac{26}{25}

(u - \frac{1}{5})^{2} \leq \frac{26}{25}

Para

u^{n} \leq a

, si

n

es par entonces

- \frac{26}{25} \leq u - \frac{1}{5} \leq \frac{26}{25}

a \leq u \leq b

entonces

a \leq u and u \leq b

- \frac{26}{25} \leq u - \frac{1}{5} and u - \frac{1}{5} \leq \frac{26}{25}

- \frac{26}{25} \leq u - \frac{1}{5} : u \geq \frac{- 26 + 1}{5}

- \frac{26}{25} \leq u - \frac{1}{5}

Intercambiar lados

u - \frac{1}{5} \geq - \frac{26}{25}

Simplificar

\frac{26}{25} : \frac{26}{5}

\frac{26}{25}

Aplicar la siguiente propiedad de los radicales:

asumiendo que

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{26}{25}

25 = 5

25

Descomponer el número en factores primos:

25 = 5^{2}

= 5^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

5^{2} = 5

= 5

= \frac{26}{5}

u - \frac{1}{5} \geq - \frac{26}{5}

Desplace

\frac{1}{5}

a la derecha

u - \frac{1}{5} \geq - \frac{26}{5}

Sumar

\frac{1}{5}

a ambos lados

u - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} \geq - \frac{26}{5} + \frac{1}{5}

Simplificar

u - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} \geq - \frac{26}{5} + \frac{1}{5}

Simplificar

u - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} : u

u - \frac{1}{5} + \frac{1}{5}

Sumar elementos similares:

- \frac{1}{5} + \frac{1}{5} \geq 0

= u

Simplificar

- \frac{26}{5} + \frac{1}{5} : \frac{- 26 + 1}{5}

- \frac{26}{5} + \frac{1}{5}

Aplicar la regla

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 26 + 1}{5}

u \geq \frac{- 26 + 1}{5}

u \geq \frac{- 26 + 1}{5}

u \geq \frac{- 26 + 1}{5}

u - \frac{1}{5} \leq \frac{26}{25} : u \leq \frac{26 + 1}{5}

u - \frac{1}{5} \leq \frac{26}{25}

Aplicar la siguiente propiedad de los radicales:

asumiendo que

a \geq 0, b \geq 0

u - \frac{1}{5} \leq \frac{26}{25}

25 = 5

25

Descomponer el número en factores primos:

25 = 5^{2}

= 5^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

5^{2} = 5

= 5

u - \frac{1}{5} \leq \frac{26}{5}

Desplace

\frac{1}{5}

a la derecha

u - \frac{1}{5} \leq \frac{26}{5}

Sumar

\frac{1}{5}

a ambos lados

u - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} \leq \frac{26}{5} + \frac{1}{5}

Simplificar

u - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} \leq \frac{26}{5} + \frac{1}{5}

Simplificar

u - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} : u

u - \frac{1}{5} + \frac{1}{5}

Sumar elementos similares:

- \frac{1}{5} + \frac{1}{5} \leq 0

= u

Simplificar

\frac{26}{5} + \frac{1}{5} : \frac{26 + 1}{5}

\frac{26}{5} + \frac{1}{5}

Aplicar la regla

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{26 + 1}{5}

u \leq \frac{26 + 1}{5}

u \leq \frac{26 + 1}{5}

u \leq \frac{26 + 1}{5}

Combinar los rangos

u \geq \frac{- 26 + 1}{5} and u \leq \frac{26 + 1}{5}

Mezclar intervalos sobrepuestos

u \geq \frac{- 26 + 1}{5} and u \leq \frac{26 + 1}{5}

La intersección de dos intervalos, es el conjunto de numérico común a los dos intervalos

u \geq \frac{- 26 + 1}{5}

u \leq \frac{26 + 1}{5}

\frac{- 26 + 1}{5} \leq u \leq \frac{26 + 1}{5}

\frac{- 26 + 1}{5} \leq u \leq \frac{26 + 1}{5}

\frac{- 26 + 1}{5} \leq u \leq \frac{26 + 1}{5}

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

\frac{- 26 + 1}{5} \leq cos (x) \leq \frac{26 + 1}{5}

a \leq u \leq b

entonces

a \leq u and u \leq b

\frac{- 26 + 1}{5} \leq cos (x) and cos (x) \leq \frac{26 + 1}{5}

\frac{- 26 + 1}{5} \leq cos (x) : - arccos (\frac{- 26 + 1}{5}) + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{- 26 + 1}{5}) + 2 πn

\frac{- 26 + 1}{5} \leq cos (x)

Intercambiar lados

cos (x) \geq \frac{- 26 + 1}{5}

Para

cos (x) \geq a

, si

- 1 < a < 1

entonces

- arccos (a) + 2 πn \leq x \leq arccos (a) + 2 πn

- arccos (\frac{- 26 + 1}{5}) + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{- 26 + 1}{5}) + 2 πn

cos (x) \leq \frac{26 + 1}{5} :

Verdadero para todo

x \in R

cos (x) \leq \frac{26 + 1}{5}

Rango de

cos (x) : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Definición de rango de función

El rango de la función basica

cos

- 1 \leq cos (x) \leq 1

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) \leq \frac{26 + 1}{5} and - 1 \leq cos (x) \leq 1 : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Sea

y

cos (x)

Combinar los rangos

y \leq \frac{26 + 1}{5} and - 1 \leq y \leq 1

Mezclar intervalos sobrepuestos

y \leq \frac{26 + 1}{5} and - 1 \leq y \leq 1

La intersección de dos intervalos, es el conjunto de numérico común a los dos intervalos

y \leq \frac{26 + 1}{5}

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Verdadero para todo x

Verdadero para todo x \in R

Combinar los rangos

- arccos (\frac{- 26 + 1}{5}) + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{- 26 + 1}{5}) + 2 πn and Verdadero para todo x \in R

Mezclar intervalos sobrepuestos

- arccos (\frac{- 26 + 1}{5}) + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{- 26 + 1}{5}) + 2 πn

Ejemplos populares

sin(3x)cos(3x)-1/4 >= 0