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Popular Trigonometría >

sin(x+pi/4)<= 1/2

Solución

sin (x + \frac{π}{4}) \leq \frac{1}{2}

Solución

- \frac{17 π}{12} + 2 πn \leq x \leq - \frac{π}{12} + 2 πn

Notación de intervalos

[- \frac{17 π}{12} + 2 πn, - \frac{π}{12} + 2 πn]

Decimal

- 4.45058 \dots + 2 πn \leq x \leq - 0.26179 \dots + 2 πn

Pasos de solución

sin (x + \frac{π}{4}) \leq \frac{1}{2}

Para

sin (x) \leq a

, si

- 1 < a < 1

entonces

- π - arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq (x + \frac{π}{4}) \leq arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

a \leq u \leq b

entonces

a \leq u and u \leq b

- π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq x + \frac{π}{4} and x + \frac{π}{4} \leq arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

- π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq x + \frac{π}{4} : x \geq - \frac{17 π}{12} + 2 πn

- π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq x + \frac{π}{4}

Intercambiar lados

x + \frac{π}{4} \geq - π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Simplificar

- π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn : - π - \frac{π}{6} + 2 πn

- π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - \frac{π}{6} + 2 πn

x + \frac{π}{4} \geq - π - \frac{π}{6} + 2 πn

Desplace

\frac{π}{4}

a la derecha

x + \frac{π}{4} \geq - π - \frac{π}{6} + 2 πn

Restar

\frac{π}{4}

de ambos lados

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} \geq - π - \frac{π}{6} + 2 πn - \frac{π}{4}

Simplificar

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} \geq - π - \frac{π}{6} + 2 πn - \frac{π}{4}

Simplificar

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} : x

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4}

Sumar elementos similares:

\frac{π}{4} - \frac{π}{4} \geq 0

= x

Simplificar

- π - \frac{π}{6} + 2 πn - \frac{π}{4} : - π + 2 πn - \frac{5 π}{12}

- π - \frac{π}{6} + 2 πn - \frac{π}{4}

Agrupar términos semejantes

= - π + 2 πn - \frac{π}{6} - \frac{π}{4}

Mínimo común múltiplo de

6, 4 : 12

6, 4

Mínimo común múltiplo (MCM)

Descomposición en factores primos de

6 : 2 \cdot 3

6

6

divida por

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 3

2, 3

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 3

Descomposición en factores primos de

4 : 2 \cdot 2

4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

Multiplicar cada factor el mayor número de veces que ocurra en cualquier

6

4

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

= 12

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{π}{6} :

multiplicar el denominador y el numerador por

2

\frac{π}{6} = \frac{π 2}{6 \cdot 2} = \frac{π 2}{12}

Para

\frac{π}{4} :

multiplicar el denominador y el numerador por

3

\frac{π}{4} = \frac{π 3}{4 \cdot 3} = \frac{π 3}{12}

= - \frac{π 2}{12} - \frac{π 3}{12}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 2 - π 3}{12}

Sumar elementos similares:

- 2 π - 3 π = - 5 π

= \frac{- 5 π}{12}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - π + 2 πn - \frac{5 π}{12}

x \geq - π + 2 πn - \frac{5 π}{12}

x \geq - π + 2 πn - \frac{5 π}{12}

x \geq - π + 2 πn - \frac{5 π}{12}

Simplificar

- π - \frac{5 π}{12} : - \frac{17 π}{12}

- π - \frac{5 π}{12}

Convertir a fracción:

π = \frac{π 12}{12}

= - \frac{π 12}{12} - \frac{5 π}{12}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 12 - 5 π}{12}

Sumar elementos similares:

- 12 π - 5 π = - 17 π

= \frac{- 17 π}{12}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{17 π}{12}

x \geq - \frac{17 π}{12} + 2 πn

x + \frac{π}{4} \leq arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn : x \leq 2 πn - \frac{π}{12}

x + \frac{π}{4} \leq arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Simplificar

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn : \frac{π}{6} + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6} + 2 πn

x + \frac{π}{4} \leq \frac{π}{6} + 2 πn

Desplace

\frac{π}{4}

a la derecha

x + \frac{π}{4} \leq \frac{π}{6} + 2 πn

Restar

\frac{π}{4}

de ambos lados

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} \leq \frac{π}{6} + 2 πn - \frac{π}{4}

Simplificar

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} \leq \frac{π}{6} + 2 πn - \frac{π}{4}

Simplificar

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} : x

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4}

Sumar elementos similares:

\frac{π}{4} - \frac{π}{4} \leq 0

= x

Simplificar

\frac{π}{6} + 2 πn - \frac{π}{4} : 2 πn - \frac{π}{12}

\frac{π}{6} + 2 πn - \frac{π}{4}

Agrupar términos semejantes

= 2 πn + \frac{π}{6} - \frac{π}{4}

Mínimo común múltiplo de

6, 4 : 12

6, 4

Mínimo común múltiplo (MCM)

Descomposición en factores primos de

6 : 2 \cdot 3

6

6

divida por

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 3

2, 3

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 3

Descomposición en factores primos de

4 : 2 \cdot 2

4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

Multiplicar cada factor el mayor número de veces que ocurra en cualquier

6

4

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

= 12

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{π}{6} :

multiplicar el denominador y el numerador por

2

\frac{π}{6} = \frac{π 2}{6 \cdot 2} = \frac{π 2}{12}

Para

\frac{π}{4} :

multiplicar el denominador y el numerador por

3

\frac{π}{4} = \frac{π 3}{4 \cdot 3} = \frac{π 3}{12}

= \frac{π 2}{12} - \frac{π 3}{12}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 2 - π 3}{12}

Sumar elementos similares:

2 π - 3 π = - π

= \frac{- π}{12}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= 2 πn - \frac{π}{12}

x \leq 2 πn - \frac{π}{12}

x \leq 2 πn - \frac{π}{12}

x \leq 2 πn - \frac{π}{12}

Combinar los rangos

x \geq - \frac{17 π}{12} + 2 πn and x \leq 2 πn - \frac{π}{12}

Mezclar intervalos sobrepuestos

- \frac{17 π}{12} + 2 πn \leq x \leq - \frac{π}{12} + 2 πn

Ejemplos populares

sin^2(x)+1/2*sin(x)>0