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Beliebt Trigonometrie >

(2sin(x)+1)/(2cos(x))<= 0

Lösung

\frac{2 sin ( x ) + 1}{2 cos ( x )} \leq 0

Lösung

\frac{π}{2} + 2 πn < x \leq \frac{7 π}{6} + 2 πn or \frac{3 π}{2} + 2 πn < x \leq \frac{11 π}{6} + 2 πn

Intervall-Notation

(\frac{π}{2} + 2 πn, \frac{7 π}{6} + 2 πn] \cup (\frac{3 π}{2} + 2 πn, \frac{11 π}{6} + 2 πn]

Dezimale

1.57079 \dots + 2 πn < x \leq 3.66519 \dots + 2 πn or 4.71238 \dots + 2 πn < x \leq 5.75958 \dots + 2 πn

Schritte zur Lösung

\frac{2 sin ( x ) + 1}{2 cos ( x )} \leq 0

Periodizität von

\frac{2 sin ( x ) + 1}{2 cos ( x )} : 2 π

\frac{2 sin ( x ) + 1}{2 cos ( x )}

besteht aus den folgenden Funktionen und Perioden:

sin (x)

mit Periodizität von

2 π

Die zusammengesetzte Periodizität ist:

= 2 π

Finde die Nullstellen und undefinierten Punkte von

\frac{2 sin ( x ) + 1}{2 cos ( x )}

für

0 \leq x < 2 π

Um die Nullstellen zu finden, setze die Ungleichung auf Null

\frac{2 sin ( x ) + 1}{2 cos ( x )} = 0

\frac{2 sin ( x ) + 1}{2 cos ( x )} = 0, 0 \leq x < 2 π : x = \frac{7 π}{6}, x = \frac{11 π}{6}

\frac{2 sin ( x ) + 1}{2 cos ( x )} = 0, 0 \leq x < 2 π

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

2 sin (x) + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 sin (x) + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

2 sin (x) + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

2 sin (x) = - 1

2 sin (x) = - 1

Teile beide Seiten durch

2

2 sin (x) = - 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 sin ( x )}{2} = \frac{- 1}{2}

Vereinfache

sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x) = - \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Lösungen für den Bereich

0 \leq x < 2 π

x = \frac{7 π}{6}, x = \frac{11 π}{6}

Finde die unbestimmten Punkte:

x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}

Finde die Nullstellen des Nenners

2 cos (x) = 0

Teile beide Seiten durch

2

2 cos (x) = 0

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 cos ( x )}{2} = \frac{0}{2}

Vereinfache

cos (x) = 0

cos (x) = 0

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Lösungen für den Bereich

0 \leq x < 2 π

x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}

\frac{π}{2}, \frac{7 π}{6}, \frac{3 π}{2}, \frac{11 π}{6}

Identifiziere die Intervalle

0 < x < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < x < \frac{7 π}{6}, \frac{7 π}{6} < x < \frac{3 π}{2}, \frac{3 π}{2} < x < \frac{11 π}{6}, \frac{11 π}{6} < x < 2 π

Fasse in einer Tabelle zusammen:

2 sin (x) + 1 cos (x) \frac{2 s i n ( x ) + 1}{2 c o s ( x )} x = 0 + + + 0 < x < \frac{π}{2} + + + x = \frac{π}{2} + 0 Unbestimmt \frac{π}{2} < x < \frac{7 π}{6} + - - x = \frac{7 π}{6} 0 - 0 \frac{7 π}{6} < x < \frac{3 π}{2} - - + x = \frac{3 π}{2} - 0 Unbestimmt \frac{3 π}{2} < x < \frac{11 π}{6} - + - x = \frac{11 π}{6} 0 + 0 \frac{11 π}{6} < x < 2 π + + + x = 2 π + + +

Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen:

\leq 0

\frac{π}{2} < x < \frac{7 π}{6} or x = \frac{7 π}{6} or \frac{3 π}{2} < x < \frac{11 π}{6} or x = \frac{11 π}{6}

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

\frac{π}{2} < x \leq \frac{7 π}{6} or \frac{3 π}{2} < x < \frac{11 π}{6} or x = \frac{11 π}{6}

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

\frac{π}{2} < x < \frac{7 π}{6}

oder

x = \frac{7 π}{6}

\frac{π}{2} < x \leq \frac{7 π}{6}

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

\frac{π}{2} < x \leq \frac{7 π}{6}

oder

\frac{3 π}{2} < x < \frac{11 π}{6}

\frac{π}{2} < x \leq \frac{7 π}{6} or \frac{3 π}{2} < x < \frac{11 π}{6}

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

\frac{π}{2} < x \leq \frac{7 π}{6} or \frac{3 π}{2} < x < \frac{11 π}{6}

oder

x = \frac{11 π}{6}

\frac{π}{2} < x \leq \frac{7 π}{6} or \frac{3 π}{2} < x \leq \frac{11 π}{6}

\frac{π}{2} < x \leq \frac{7 π}{6} or \frac{3 π}{2} < x \leq \frac{11 π}{6}

Verwende die Periodizität von

\frac{2 sin ( x ) + 1}{2 cos ( x )}

\frac{π}{2} + 2 πn < x \leq \frac{7 π}{6} + 2 πn or \frac{3 π}{2} + 2 πn < x \leq \frac{11 π}{6} + 2 πn

Beliebte Beispiele

sec(x)>0

sec (x) > 0

sec^2(x)<= 2

sec^{2} (x) \leq 2

2cos(x)<1

2 cos (x) < 1

cos(x)-sin(x)>= 0

cos (x) - sin (x) \geq 0

sin(x)<-(sqrt(3))/2

sin (x) < - \frac{3}{2}