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Popular Trigonometría >

cos^2(x)-cos(x)-2>= 0

Solución

cos^{2} (x) - cos (x) - 2 \geq 0

Solución

x = π + 2 πn

Decimal

x = 3.14159 \dots + 2 πn

Pasos de solución

cos^{2} (x) - cos (x) - 2 \geq 0

Sea:

u = cos (x)

u^{2} - u - 2 \geq 0

u^{2} - u - 2 \geq 0 : u \leq - 1 or u \geq 2

u^{2} - u - 2 \geq 0

Factorizar

u^{2} - u - 2 : (u + 1) (u - 2)

u^{2} - u - 2

Factorizar la expresión

u^{2} - u - 2

Definición

Factores de

2 : 1, 2

2

Divisores (factores)

Encontrar los factores primos de

2 : 2

2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 2

Agregar 1

1

Divisores de

2

1, 2

Factores negativos de

2 : - 1, - 2

Multiplicar los números por

- 1

para obtener divisores negativos

- 1, - 2

Por cada dos factores tales que

u * v = - 2,

revisar si

u + v = - 1

Revisar

u = 1, v = - 2 : u * v = - 2, u + v = - 1 \Rightarrow

VerdaderoRevisar

u = 2, v = - 1 : u * v = - 2, u + v = 1 \Rightarrow

Falso

u = 1, v = - 2

Agrupar en

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(u^{2} + u) + (- 2 u - 2)

= (u^{2} + u) + (- 2 u - 2)

Factorizar

u

u^{2} + u

u (u + 1)

u^{2} + u

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= uu + u

Factorizar el termino común

u

= u (u + 1)

Factorizar

- 2

- 2 u - 2

- 2 (u + 1)

- 2 u - 2

Factorizar el termino común

- 2

= - 2 (u + 1)

= u (u + 1) - 2 (u + 1)

Factorizar el termino común

u + 1

= (u + 1) (u - 2)

(u + 1) (u - 2) \geq 0

Identificar los intervalos

Encontrar los signos de los factores de

(u + 1) (u - 2)

Encontrar los signos de

u + 1

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Desplace

1

a la derecha

u + 1 = 0

Restar

1

de ambos lados

u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

u = - 1

u = - 1

u + 1 < 0 : u < - 1

u + 1 < 0

Desplace

1

a la derecha

u + 1 < 0

Restar

1

de ambos lados

u + 1 - 1 < 0 - 1

Simplificar

u < - 1

u < - 1

u + 1 > 0 : u > - 1

u + 1 > 0

Desplace

1

a la derecha

u + 1 > 0

Restar

1

de ambos lados

u + 1 - 1 > 0 - 1

Simplificar

u > - 1

u > - 1

Encontrar los signos de

u - 2

u - 2 = 0 : u = 2

u - 2 = 0

Desplace

2

a la derecha

u - 2 = 0

Sumar

2

a ambos lados

u - 2 + 2 = 0 + 2

Simplificar

u = 2

u = 2

u - 2 < 0 : u < 2

u - 2 < 0

Desplace

2

a la derecha

u - 2 < 0

Sumar

2

a ambos lados

u - 2 + 2 < 0 + 2

Simplificar

u < 2

u < 2

u - 2 > 0 : u > 2

u - 2 > 0

Desplace

2

a la derecha

u - 2 > 0

Sumar

2

a ambos lados

u - 2 + 2 > 0 + 2

Simplificar

u > 2

u > 2

Resumir en una tabla:

u + 1 u - 2 (u + 1) (u - 2) u < - 1 - - + u = - 1 0 - 0 - 1 < u < 2 + - - u = 2 + 00 u > 2 + + +

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

\geq 0

u < - 1 or u = - 1 or u = 2 or u > 2

Mezclar intervalos sobrepuestos

u \leq - 1 or u = 2 or u > 2

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

u < - 1

u = - 1

u \leq - 1

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

u \leq - 1

u = 2

u \leq - 1 or u = 2

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

u \leq - 1 or u = 2

u > 2

u \leq - 1 or u \geq 2

u \leq - 1 or u \geq 2

u \leq - 1 or u \geq 2

u \leq - 1 or u \geq 2

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) \leq - 1 or cos (x) \geq 2

cos (x) \leq - 1 : x = π + 2 πn

cos (x) \leq - 1

Para

cos (x) \leq a

, si

- 1 < a < 1

entonces

arccos (a) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (- 1) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (- 1) + 2 πn

Simplificar

arccos (- 1) : π

arccos (- 1)

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arccos (- 1) = π

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= π

Simplificar

2 π - arccos (- 1) : π

2 π - arccos (- 1)

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arccos (- 1) = π

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - π

Sumar elementos similares:

2 π - π = π

= π

π + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

Simplificar

x = π + 2 πn

cos (x) \geq 2 :

Falso para todo

x \in R

cos (x) \geq 2

Rango de

cos (x) : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Definición de rango de función

El rango de la función basica

cos

- 1 \leq cos (x) \leq 1

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) \geq 2 and - 1 \leq cos (x) \leq 1 :

Falso

Sea

y

cos (x)

Combinar los rangos

y \geq 2 and - 1 \leq y \leq 1

Mezclar intervalos sobrepuestos

y \geq 2 and - 1 \leq y \leq 1

La intersección de dos intervalos, es el conjunto de numérico común a los dos intervalos

y \geq 2

- 1 \leq y \leq 1

Falso para todo y \in R

Falso para todo y \in R

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n para x \in R

Falso para todo x \in R

Combinar los rangos

x = π + 2 πn or Falso para todo x \in R

Mezclar intervalos sobrepuestos

x = π + 2 πn

Ejemplos populares

7cos^2(x)-5cos(x)+sin^2(x)<= 0

cos(-x)<0

sin(x^2)>= 0

sin(x)+cos(x)<= 2

2cos^2(x)+sin(2x)<= 0